Existencia de una hipersuperficie que contiene el locus singular de la variedad proyectiva.

Question

Dejemos que $V_n$ sea una variedad algebraica irreducible en el espacio proyectivo $\mathbb{C}P^n$ . Denote por $V_{n_1}$ la subvariedad recortada en $V_n$ por una hipersuperficie $W$ que contiene el lugar singular de $V_n$ y no $V_n$ . Cómo demostrar la existencia de $W$ ?

Answer 1

El siguiente hecho más general es cierto.

Propuesta: Para cualquier subconjunto cerrado $S \subset \mathbf P^n$ y cualquier punto $p \notin S$ existe una hipersuperficie $W$ que contiene $S$ pero no $p$ .

(Su pregunta se refiere al caso en que $S$ es el lugar singular de su variedad $V_n$ y $p$ es cualquier punto en el que $V_n$ es no singular).

Prueba de la proposición: Dejemos que $S$ sea el conjunto de fuga del ideal $$I_S = \langle f_1,\ldots,f_n \rangle$$ donde $f_i$ son polinomios homogéneos.

Desde $p \notin S$ al menos uno de los generadores del ideal no desaparece en $p$ ; llámalo $f_1$ . Entonces dejemos que $W=V(f_1)$ .