demostrando que la integral impropia converge

Question

Intento demostrar que la siguiente integral converge: $$\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-\frac{1}{x}}-1}{x^\frac{2}{3}}$$ desde 0 y $\infty$ son los puntos problemáticos que he hecho esto: $$\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-\frac{1}{x}}-1}{x^\frac{2}{3}} = \int_{0}^{1}\frac{e^{-\frac{1}{x}}-1}{x^\frac{2}{3}} + \int_{1}^{\infty}\frac{e^{-\frac{1}{x}}-1}{x^\frac{2}{3}}$$

ahora lo sé: $$\int_{0}^{1}\frac{e^{-\frac{1}{x}}-1}{x^\frac{2}{3}} \leq \int_{0}^{1}\frac{1}{x^\frac{2}{3}} < \infty$$ porque: $$\int_{0}^{1}\frac{1}{x^\alpha } < \infty \iff \alpha <1$$

Ahora bien, tengo dificultades para demostrar que la otra parte converge, ¡se agradece cualquier ayuda!

Answer 1

Cambiar las variables: $y=1/x$ , $dx/x=-dy/y$ . Entonces la integral se convierte en $$\int_0^{\infty} \frac{e^{-y}-1}{y^{4/3}} \, dy.$$ Dividir en $y=1$ y luego $$\int_1^{\infty} \frac{1-e^{-y}}{y^{4/3}} \, dy$$ está limitada por $\int_1^{\infty} \frac{dy}{y^{4/3}}$ , que converge. Mientras tanto, en $[0,1]$ tenemos $$\frac{e-1}{e}y \leqslant 1-e^{-y} \leqslant y$$ (haz un dibujo, mira la tangente en $0$ y la secante a través de $0$ y $1$ ), por lo que la integral sobre $[0,1]$ está limitada por un múltiplo de $$\int_0^1 \frac{y}{y^{4/3}} \, dy = \int_0^1 \frac{dy}{y^{1/3}},$$ que converge.