No la parte real de una función holomorfa

Question

Me confunde lo siguiente:

Tengo que demostrar que la función $u:\mathbb{C}-0 \to \mathbb{R}, u(x,y)=ln(x^2+y^2)$ no es la parte real de una función holomorfa.

Mis intentos: Asumir que hay una función holomorfa $f$ con parte real $u$ . Entonces, la ecuación de Cauchy-Schwarz da lugar a la parte imaginaria, por ejemplo $v$ , $\partial_x v(x,y)=\frac{2x}{x^2+y^2}$

$\partial_y v(x,y)=-\frac{2y}{x^2+y^2}$ .

Sin embargo, si integro la primera ecuación sobre x y la segunda sobre y, obtengo

$v(x,y)=2\arctan(\frac{y}{x})+C(x)$ y $v(x,y)=2\arctan(\frac{x}{y})+C'(y)$ .

Creo que esto es una contradicción porque las dos ecuaciones no se pueden resolver sobre los números complejos.

Sin embargo, $u$ Es parte de una función holomórfica $f(x,y)=\ln(x^2+y^2)+2\arctan(y/x)$ . ¿Dónde está mi error?

Conozco la solución donde se demuestra que arctan(y/x) no es continua sobre los números complejos. Pero lo que está mal en mi intento de solución.

Answer 1

Como dijo Ian, intuitivamente, si $\log|z|^2$ eran la parte real de $f$ entonces $f$ sería un plus constante $2\log(z)$ y no hay una definición global de $\log(z)$ (por ejemplo, porque $\arctan(y/x)$ no es continua, lo que sea).

Aquí hay una manera de clavarlo sin que haya confusión: Supongamos que $\log|z|^2$ es la parte real de $f$ . Utilice las ecuaciones de Cauchy-Riemann para demostrar que $$f'(z)=\frac2z.$$ Esto es imposible: Si $C$ es cualquier curva cerrada el teorema fundamental del cálculo muestra que $$\int_Cf'(z)\,dz=0,$$ mientras que si $C$ es el círculo unitario, entonces $$\int_C\frac{dz}{z}=2\pi i.$$