Solución de la desigualdad con valor absoluto

Question

Tengo la siguiente desigualdad: $$ \left\rvert x + \frac{1}{x} \right\lvert \ge 2$$ puedo decir que la distancia de la expresión dentro del valor absoluto de $0$ es mayor o igual a 2 (del lado positivo del eje real) y menor o igual a $-2$ (desde el lado negativo) así que: $$ \left\rvert x + \frac{1}{x} \right\lvert \ge 2 \implies -2\ge x + \frac{1}{x} \ge 2$$ ¿puedo usarlo así para resolverlo?

Answer 1

Esta línea es incorrecta:

$$\rvert x + \frac{1}{x} \lvert \ge 2 \implies -2\ge x + \frac{1}{x} \ge 2$$

El valor absoluto significa que el valor en el interior podría haber sido positivo o negativo por lo que se convierte en realidad:

$$\pm\left(x+\frac{1}{x}\right)\ge2$$

Cuando vayas a mover el signo negativo al otro lado deberás dividirlo en dos ecuaciones distintas:

$$x+\frac{1}{x}\ge2\text{ and }x+\frac{1}{x}\le-2$$

A continuación, puedes utilizar estas dos inecuaciones para terminar de resolver el problema real (sin embargo, hay otras formas más fáciles de resolverlo).

Primera desigualdad:

$$x+\frac{1}{x}-2\ge0$$

$$\frac{x^2-2x+1}{x}\ge0$$

$$\frac{(x-1)^2}{x}\ge0$$

El numerador es siempre positivo por lo que requerimos $x>0$ . Tenga en cuenta que no podemos tener $x=0$ ya que no podemos dividir por 0.

Segunda desigualdad:

$$x+\frac{1}{x}+2\le0$$

$$\frac{x^2+2x+1}{x}\le0$$

$$\frac{(x+1)^2}{x}\le0$$

El numerador es siempre positivo por lo que requerimos $x<0$ . Tenga en cuenta que no podemos tener $x=0$ ya que no podemos dividir por 0.

Solución combinada

Podemos tener $x>0$ o $x<0$ por lo que la solución es $x\ne0$

Answer 2

También se puede enfocar esto desde un ángulo ligeramente diferente: utilizando el hecho de que $|x|^2 = x^2$ , eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad original, y trabaja con eso.

Answer 3

Dejemos que $x>0$ . Utilizar AM-GM $$x+\frac1x\ge2\sqrt{x\cdot\frac1x}=2$$ Dejemos que $x<0$ . Entonces $y=-x>0$ $$|x+\frac1x|=-x-\frac1x=y+\frac1y\ge2 \Rightarrow -x-\frac1x\ge2\Rightarrow x+\frac1x\le-2$$

Answer 4

Un enfoque geométrico: Consideremos un cuadrado de dimensiones $x+1/x$ y calcula el área de las cuatro regiones de este cuadrado. Estas regiones son $x^2$ , $1/x^2$ y $2$ . ¿Conclusión?