Funciones $f:X\to X$ que se desplazan con "casi ningún otro"

Question

Dejemos que $X$ sea un conjunto infinito y que $\text{End}(X)$ sea el conjunto de todas las funciones $f:X\to X$ . Para $f\in\text{End}(X)$ dejar $$\text{Com}(f) = \{g\in\text{End}(X): g\circ f = f \circ g\}.$$ ¿Existe $f\in \text{End}(X)$ tal que $\text{Com}(f) = \{\text{id}_X, f\}$ ?

Si no es así, ¿qué es $\min\{|\text{Com}(f)|:f\in\text{End}(X)\}$ en términos de $|X|$ ?

Answer 1

No: desde $f^2$ se desplaza con $f$ deberíamos tener $f^2=\mathrm{id}_X$ o $f^2=f$ Es decir $f$ es idempotente o involutivo. Pero en un conjunto infinito es fácil ver que estos siempre tienen infinitos conmutadores.

Answer 2

Dejemos que $X:=\mathbf{N}$ et $f:X\rightarrow X$ se define por $f(n)=n+1$ y que $g:X\rightarrow X$ viajar con $f$ .

Tenemos $g(n+1)=g(f(n))=f(g(n))=g(n)+1$ para todos $n\in X$ . Así, con $g(0)=a$ obtenemos $g(n)=a+n=f^a(n)$ lo que significa que los poderes de $f$ son los únicos elementos de $\text{End}(X)$ desplazamientos con $f$ .

Así, $|\text{Com(f)}|=|\mathbf{N}|=|X|$ .