Prueba de la forma cerrada de una suma infinita (relacionada con los polinomios de Chebyshev)

Question

¿Cómo puedo demostrar la siguiente identidad? Para $y\not= 0$ tenemos $$\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{2y}\left( (x+y)^{n+1}-(x-y)^{n+1}\right) = \dfrac{1}{(x+y-1)(x-y-1)}.$$

Estoy tratando de encontrar la forma cerrada para el lado izquierdo. Gracias de antemano.

Answer 1

$$\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{2y}\left( (x+y)^{n+1}-(x-y)^{n+1}\right) &= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^n (x+y)^{k}(x-y)^{n-k} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=k}^{\infty} (x+y)^{k}(x-y)^{n-k}\\ &= \sum_{k=0}^\infty (x+y)^{k} \sum_{n=k}^{\infty} (x-y)^{n-k}\\ &= \sum_{k=0}^\infty (x+y)^{k} \sum_{m=0}^{\infty} (x-y)^{m}\\ &= \frac{1}{1-(x-y)}\sum_{k=0}^\infty (x+y)^{k} \\ &= \frac{1}{1-(x-y)}\cdot\frac{1}{1-(x+y)}\\ &= \frac{1}{(x+y-1)(x-y-1)} \end{align}$$