Cómo calcular $\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-\frac{(x^2-13x-1)^2}{611x^2}\right)\ dx$

Question

$$\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-\frac{(x^2-13x-1)^2}{611x^2}\right)\ dx$$

WolframAlpha da una respuesta numérica de $43.8122$, que parece ser $\sqrt{611\pi}$. Y jugar con eso, parece que reemplazar $611$ $a$ solo da $\sqrt{a\pi}$. Mi problema es que las cosas en la exponencial siempre parece ser sólo un gran lío, y no he podido entrar en una forma puedo entender o tratar.

Lo agradeceria mucho ver un método para resolver esta integral.

Answer 1

Deje $\displaystyle\;u(x) = \frac{x^2-13x-1}{x}\;$. Como $x$ varia $\mathbb{R}$, tenemos

• u(x) aumenta monótonamente de$-\infty$$-\infty$$+\infty$$0^{-}$.
• u(x) aumenta monótonamente de$-\infty$$0^{+}$$+\infty$$+\infty$.

Esto significa que como $x$ varía, $u(x)$ cubierto $(-\infty,\infty)$ dos veces.

Deje $x_1(u) < 0$ $x_2(u) > 0$ ser las dos raíces de la ecuación para un determinado $u$:

$$u = u(x) = \frac{x^2-13x-1}{x} \quad\iff\quad x^2 - (13+u)x - 1 = 0$$ tenemos $$x_1(u) + x_2(u) = 13 + u \quad\implica\quad \frac{dx_1}{du} + \frac{dx_2}{du} = 1. $$ A partir de esto, nos encontramos

$$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty e^{-u(x)^2/611} dx &= \left( \int_{-\infty}^{0^{-}} + \int_{0^{+}}^{+\infty}\right) e^{-u(x)^2/611} dx\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2/611}\left(\frac{dx_1}{du} + \frac{dx_2}{du}\right) du\\ &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2/611} du\\ &= \sqrt{611\pi} \end{align} $$

Answer 2

SUGERENCIA:

Para $a$ fijo

$\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-\frac{(x^2+sx-b)^2}{a x^2}\right)\ dx$

es constante en $s$$b\ge 0$.

$\bf{Added:}$

La función de $\frac{x^2 + s x - b}{x} = x - \frac{b}{x} + s$ invariates la medida de Lebesgue como @achille hui: mostró en su respuesta.

Vamos $n \in \mathbb{N}$ $\alpha_1$, $\ldots$, $\alpha_n$ distintos números reales, $\rho_1$, $\ldots$, $\rho_n$ $ >0$ y $\beta \in \mathbb{R}$. La función

$$\phi(x) = x - \sum_{i=1}^n \frac{\rho_i}{x- \alpha_i} -\beta $$

invariates la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$.

Lema: Para cualquier $a \in \mathbb{R}$ la ecuación

\begin{eqnarray*} x- \sum_{i=1}^n \frac{\rho_i}{x- \alpha_i} -\beta = u \end{eqnarray*} ha $n+1$ distintos raíz real con suma $u + \sum_i \alpha_i + \beta $. El Uso De Viete.

Lema: Vamos a $I$, un intervalo en $\mathbb{R}$ de la longitud de la $l$. A continuación, la preimagen $\phi^{-1} (I)$ es una unión de $n+1$ distintos intervalos de longitud total $l$.

Consecuencia: $$\int_{\mathbb{R}} (f\circ \phi)\, d\,\mu = \int_{\mathbb{R}} f\ d\mu$$

Componer dos racional de los mapas que invariate la medida se presenta una tercera. Ellos tienen singularidades en general.

Para $f(x) = e^{-\frac{x^2}{a}}$ la composición de la $f (\phi(x))$ es todavía suave debido a la rápida descomposición en$\infty$$e^{-\frac{x^2}{a}}$.

Answer 3

Agregar otra solución debido a un amigo mío.

A través de cierta álgebra, es equivalente a la integral

$$\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac1{611}\left((x-x^{-1})-13\right)^2\right)\ dx$$

Luego, utilizando la siguiente identidad

$$\int_{-\infty}^\infty f(x-x^{-1})\ dx = \int_{-\infty}^\infty f(x)\ dx$$

Tenemos

$$\begin{align} &\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac1{611}\left((x-x^{-1})-13\right)^2\right)\ dx\\ =&\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac1{611}(x-13)^2\right)\ dx\\ =&\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac1{611}x^2\right)\ dx\\ =&\sqrt{611\pi} \end {Alinee el} $$

Answer 4

Uso de identidad en respuesta de @user137794:\begin{equation} \int_{-\infty}^\infty f(x-x^{-1})\ dx = \int_{-\infty}^\infty f(x)\ dx \end{equation} donde se puede ver la prueba completa aquí. El problema puede generalizarse para evaluar

\begin{equation} \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{(x^2-bx-1)^2}{ax^2}\right)\ dx = \sqrt{a\pi} \end{equation}

Prueba:

Es fácil ver que $\dfrac{(x^2-bx-1)^2}{ax^2}=\dfrac{1}{a}\left(x-x^{-1}-b\right)^2$, entonces \begin{align} \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{(x^2-bx-1)^2}{ax^2}\right)\ dx &=\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{(x-x^{-1}-b)^2}{a}\right)\ dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{(x-b)^2}{a}\right)\ dx\\ &=\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{y^2}{a}\right)\ dy\\ &=\sqrt{a}\int_{-\infty}^\infty \exp\left(-z^2\right)\ dz\\ &=\sqrt{a\pi} \end{align} por lo tanto\begin{equation} \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{(x^2-13x-1)^2}{611x^2}\right)\ dx = \sqrt{611\pi} \end{equation}