Probabilidad de que 5/9 jugadores saquen una escalera de corazones en Texas Holdem

Question

Necesito ayuda con esto.

Quiero saber la probabilidad de que 5 jugadores en una partida de 9 jugadores, reciban todos 2 corazones, y luego el flop salga 3 corazones más.

Gracias por todas las respuestas. Ahora tiene mucho sentido.

Tengo entendido que hay 9c5 formas de organizar los jugadores de corazones de 2 cartas de 9. Tengo curiosidad por saber por qué es así de simple, y no tiene en cuenta la probabilidad de que los corazones restantes no sean robados por los otros jugadores, o en la pila de quemados antes del flop.

Si hay alguna confusión. 9 Jugadores en el juego, 18 cartas se reparten de izquierda a derecha 1 a la vez a todos los jugadores. Se quema 1 carta. A continuación se reparten 3 cartas (el flop) aquí es donde termina la pregunta.

Answer 1

Se utiliza el hecho de que el orden en que se reparten las cartas no importa (y también que la carta quemada no importa).

Se puede encontrar la probabilidad de que $5$ seleccionar a los jugadores que obtienen los corazones, simplemente asumiendo que se gira el flop y se reparte a estos jugadores primero. Hay $13!$ formas la primera $13$ las cartas darán sólo corazones de un total de $52!/39!$ formas de hacerlo. Eso es probabilidad de $13!39!/52!$

Ahora hay $9!/5!4!$ formas de elegir a los jugadores para conseguir los corazones y todos estos son eventos complementarios de propabilidad de $13!39!/52!$ . En consecuencia, la probabilidad es:

$${13!39!9!\over5!4!52!} = {9\over 45358111400}$$

Una forma de darse cuenta de que el orden en que se reparte no importa es ver que básicamente estamos contando el número de arreglos (barajadas) de la baraja que tiene corazones en posiciones prescritas. En mi razonamiento nos interesan los que tienen corazones en la primera $13$ posiciones, pero de hecho estas son exactamente tantas como las que tiene el corazón en cualquier selecto $13$ posiciones.

Vemos esto desde que podemos elaborar una forma $\Pi$ para reordenar la baraja de manera que las cartas en la selección $13$ posición se colocan en la parte superior (hay que tener en cuenta que después de construir esa reordenación también podemos crear un esquema que restablezca el orden al oringinal).

Lo importante aquí es que si tenemos una enumeración $S_j$ de todos los posibles barajados de la baraja entonces $\Pi S_j$ también enumerará todos los barajados. Pero si $Sj$ tiene corazones en las posiciones selectas $\Pi S_j$ lo tendrá en el primer $13$ posiciones.

Esto significa que si hacemos una lista de todos los barajados $S_j$ a lo largo de los barajados $\Pi S_j$ y contar el número de barajadas en el $S_j$ columna con corazones en posiciones selectas y $\Pi S_j$ con los corazones en las primeras posiciones vemos que contaremos uno en ambos lados simultáneamente y por lo tanto llegaremos exactamente al mismo resultado.

Answer 2

Hay ${9 \choose 5}=126$ maneras de elegir a los jugadores que consiguen los corazones. La posibilidad de que cada uno de ellos junto con el flop sean todos corazones es la posibilidad de que saques el $13$ corazones primero de una baraja, que es la inversa de ${52 \choose 13}$ por lo que la probabilidad global es $$\frac{126}{52 \choose 13}=\frac 9{45358111400}\approx 2 \cdot 10^{-10}$$