Dado el problema:
Encuentre las soluciones temporales de
$x \ddot{x} - \dot{x}^2 = 0$ , $x > 1$
que satisfacen $x(0) = 1$ . Decidir qué soluciones son asintóticamente estables.
BIEN. Encontrar la solución es bastante simple, y se obtiene:
$x = Ce^{Dt}$
Con la condición inicial, obtenemos:
$x = e^{Dt}$
Lo que me resulta un poco inseguro es la noción de estabilidad asintótica. El libro presenta la teoría que la contempla, pero no tiene ejemplos adecuados. Lo que entiendo es que si partimos de dos soluciones para $t_0$ cercanas entre sí, entonces tenemos estabilidad asintótica si el valor absoluto de la diferencia entre las dos soluciones se aproxima a cero como $t$ tiende al infinito. En el ejemplo anterior, mi intuición me dice que esto ocurre sólo cuando $D<0$ . Si $D>0$ Entonces tenemos un crecimiento exponencial, y dos soluciones se alejarán más la una de la otra. Si $D=0$ , entonces una ligera perturbación que provoca $D$ para convertirse en positivo, volverá a arruinar la estabilidad. Sin embargo, cuando $D<0$ , $e^{Dt}$ se acercará a cero a medida que $t$ tiende a la inifinidad sin importar el valor que elijamos para $D$ . Por lo tanto, el valor absoluto de la diferencia entre dos soluciones también se acercará a $0$ .
Agradecería sinceramente si alguien puede confirmar/desconfirmar que mi razonamiento anterior es correcto.
