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¿Por qué los poderes de $\exp(\pi\sqrt{163})$ ¿casi enteros?

Me han incitado a hacer una pregunta que se expande este sobre la constante de Ramanujan $R=\exp(\pi\sqrt{163})$ .

Recordemos que $R$ está muy cerca de un número entero; concretamente $R=262537412640768744 - \epsilon$ donde $\epsilon$ se trata de $0.75 \times 10^{-12}$ . Llame al número entero aquí $N$ Así que $R = N - \epsilon$ .

Así que $R^2 = N^2 - 2N\epsilon + \epsilon^2$ . Resulta que $N\epsilon$ es a su vez casi un número entero, es decir $196884$ y así $R^2$ es de nuevo un casi entero. Más precisamente,

$$j(\tau) = 1/q + 744 + 196884q + 21493760q^2 + O(q^3)$$

donde $q = \exp(2\pi i\tau)$ . Para $\tau = (1+\sqrt{-163})/2$ y por lo tanto $q = \exp(-\pi\sqrt{163})$ se sabe que el lado izquierdo es un número entero. Elevando al cuadrado ambos lados,

$$j(\tau)^2 = 1/q^2 + 1488/q + 974304 + 335950912q + O(q^2).$$

Para demostrar que $1/q^2$ es casi un entero, podemos reordenar un poco para obtener

$$j(\tau)^2 - 1/q^2 - 974304 = 1488/q + 335950912q + O(q^2)$$

y queremos que el lado izquierdo sea casi cero. $1488/q$ es casi un número entero ya que $1/q$ es casi un número entero; como q es pequeño, los términos de orden superior del lado derecho son pequeños.

Como señala Mark Thomas en esta pregunta , $R^5$ también está muy cerca de un número entero -- pero como señalé, ese número entero no es $N^5$ . Esto no es especial para los quintos poderes. $R$ , $R^2$ , $R^3$ , $R^4$ , $R^5$ , $R^6$ respectivamente, difieren del número entero más cercano en menos de $10^{-12}$ , $10^{-9}$ , $10^{-8}$ , $10^{-6}$ , $10^{-5}$ , $10^{-4}$ y $10^{-2}$ . Pero el método de prueba expuesto anteriormente no funciona para potencias superiores, ya que los coeficientes de la $q$ -expansión de $j(\tau)^5$ (por ejemplo) crecen demasiado rápido. ¿Hay alguna explicación para el hecho de que estas potencias superiores sean casi enteras?

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Michiel de Mare Puntos 15888

Según una de mis referencias El capítulo 11 de este libro de David Cox se supone que tiene una explicación completa de la pregunta que hace.

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alanl Puntos 492

Creo que el enfoque correcto sería observar que $R^n$ es el término principal de $j(n\tau)$ como en el caso anterior. Entonces hay un polinomio modular $\Phi_n$ que satisface $\Phi_n(j(x),j(nx))=0$ . Para los pequeños $n$ presumiblemente podría resolver esto para $j(n\tau)$ en términos de $j(\tau)$ especialmente porque las curvas modulares son racionales para n pequeño. La conclusión sería que $j(n\tau)$ es, de nuevo para los pequeños $n$ un número entero.

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Jeff Puntos 804

Estoy un poco confundido. Sage me dice que R^10 no está particularmente cerca de un número entero. ¿Estoy perdiendo el punto aquí?

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