Otra opinión sobre esto:
Como muestra la respuesta de David Speyer y FC, esta pregunta puede responderse sin ninguna teoría profunda adicional.
Sin embargo, me gustaría explicar una variante de sus argumentos que pone esto en un poco más de contexto con respecto a las formas modulares. También significa que podemos utilizar una técnica que facilita ver lo buenas que son estas aproximaciones en términos de la tasa de crecimiento de los coeficientes de la función j.
El hecho importante aquí es que cualquier función modular (para SL_2(Z)) con coeficientes enteros en su expansión q toma valores enteros en τ = (1+√(-163))/2 (y así q = exp(-π√163)). Este hecho es en realidad una consecuencia de la integralidad del valor j aquí, ya que cualquier función de este tipo puede expresarse como un polinomio en j con coeficientes enteros (aunque cosas similares son ciertas en otros contextos, como las funciones modulares de nivel superior, donde no hay un generador canónico para el anillo de tales invariantes modulares).
Esto significa que, al igual que podemos utilizar la integralidad de
$j(\tau) = q^{-1} + 744 + O(q) $
para obtener una aproximación entera a $q^{-1}$ si tenemos una función modular $f_n$ con series de potencias de la forma
$f_n(\tau) = q^{-n} + integer + O(q)$ ,
podemos obtener una aproximación entera a $q^{-n}$ . La calidad de esta aproximación dependerá del tamaño de los coeficientes de la serie de potencias para el $O(q)$ parte.
Afortunadamente para nosotros, dicha función $f_n$ siempre existe (y es único hasta la adición de constantes enteras). ¿Cómo podemos construirlo? Una forma es tomar un polinomio apropiado en $j$ es decir, tomar una combinación lineal adecuada de $j, j^2, \cdots , j^n$ para obtener una función con la parte principal correcta. Está claro que esto funciona, y si uno resuelve los detalles, debería resultar equivalente al enfoque de FC y David.
Sin embargo, ahora que estamos en la mentalidad de las formas modulares, tenemos otras herramientas a nuestra disposición. En concreto, otra forma de crear nuevas funciones modulares es aplicar los operadores de Hecke a las funciones modulares existentes, como $j$ . Esto resulta ser una forma eficaz de obtener funciones modulares del tipo que necesitamos, ya que los operadores de Hecke hacen cosas predecibles a las partes principales de las series q (por ejemplo, si $p$ es primo, $T_p j = q^{-p} + O(1)$ ). Me limitaré a explicar cómo funciona esto para $n = 5$ aunque el método debería generalizarse inmediatamente a cualquier primo $n$ (compuesto $n$ puede ser un poco más complicado, pero no mucho).
La teoría de los operadores de Hecke nos dice que la función $T_5 j$ definido por
$$(T_5 j)(z) = j(5 z) + \sum_{i \ mod \ 5} j (\frac{z + i}{5})$$
es modular, con una expansión q dada por
$$(T_5 j)(\tau) = q^{-5} + \sum_{n = 0}^{\infty} (5 c_{5n} + c_{n/5}) q^n$$ .
donde el $c_n$ son los coeficientes en
$$j(\tau) = q^{-1} + \sum_{n = 0}^{\infty} c_n q^n$$
(y $c_n = 0$ si $n$ no es un número entero).
Así que si como antes ponemos $q = e^{- \pi \sqrt{163}}$ encontramos que
$q^{-5} + 6 c_0 + 5 c_5 q + 5 c_{10} q^2 + 5 c_{15} q^3 + 5 c_{20} q^4 + (c_1 + 5 c_{25}) q^5 + \dots$
es un número entero.
Ahora, $q$ es aproximadamente $4 \cdot 10^{-18}$ y buscando los coeficientes de $j(z)$ en OEIS encontramos que
$q^{-5} + 6 \cdot 744 + 5 \cdot (\sim 3\cdot 10^{11}) (\sim 4\cdot10^{-18}) + \text{clearly smaller terms}$
es un número entero. Por lo tanto, $q^{-5}$ debe estar fuera de un número entero por aproximadamente $6 \cdot 10^{-6}$ . Esto concuerda bastante bien con lo que me da Wolfram Alpha (no sería difícil obtener más dígitos aquí, pero ahora mismo me siento como si estuviera de espaldas a la realidad y lo dejaré por esta noche :-)
