Extraño límite inverso de sumas directas infinitas $S_n$

Question

Dejemos que $p_j$ sean los números primos en orden, indexados por $j$ . Definir $S_n$ de la siguiente manera:

\begin{equation} \begin{aligned} S_1 &:= \mathbb Z / 2 \mathbb Z &\oplus &\mathbb Z / 2 \mathbb Z &\oplus &\mathbb Z / 2 \mathbb Z &\oplus &\mathbb Z / 2 \mathbb Z &\oplus &\cdots \\ S_2 &:= \mathbb Z / 2 \mathbb Z &\oplus &\mathbb Z / (2\cdot 3 \mathbb Z) &\oplus &\mathbb Z / (2\cdot 3 \mathbb Z) &\oplus &\mathbb Z / (2\cdot 3 \mathbb Z) &\oplus &\cdots \\ S_3 &:= \mathbb Z / 2 \mathbb Z &\oplus &\mathbb Z / (2\cdot 3 \mathbb Z) &\oplus &\mathbb Z / (2 \cdot 3 \cdot 5 \mathbb Z) &\oplus &\mathbb Z / (2 \cdot 3 \cdot 5 \mathbb Z) &\oplus &\cdots \\ \cdots \end{aligned} \end{equation} Tenemos un sistema inverso obvio $\{S_n, f_n\}$ , donde $S_n \xrightarrow {f_n} S_{n-1}$ .

¿Cuál es, entonces, el límite inverso $\varprojlim S_n =: S$ ?

No sé cómo describirlo. Claramente, no es $P := \prod_{0<i}^\infty \left( \mathbb Z / \left( \left(\prod_{0<j}^i p_j\right)\mathbb Z\right)\right)$ , como $(1,1,1,\cdots)$ es un elemento de P, pero no de $S$ (nota que $S_n$ es una suma directa infinita, no un producto directo infinito). Además, no es $S' := \bigoplus_{0<i}^\infty \left( \mathbb Z / \left( \left(\prod_{0<j}^i p_j\right)\mathbb Z\right)\right)$ , como $(1,2,6,30,210,...,\prod_{0<j}^n p_j,...)$ no pertenece a $S'$ pero sí pertenece a $S$ ya que la restricción del elemento a cualquier $S_n$ es una suma finita.

Así que aparentemente es algo intermedio, y me pregunto si alguien conoce una buena descripción.

Hasta ahora no he conseguido hacer nada mejor que algo en inglés, como por ejemplo "Los elementos de $P$ de los cuales, para cualquier primo $p$ sólo un número finito de coordenadas no es divisible por $p$ ".

Answer 1

Utilizando el teorema del resto chino para dividir todo como una suma directa de grupos cíclicos de orden primo, se puede describir cada $S_n$ como una simple suma directa de infinitas copias de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ para cada uno de los primeros $n$ primos $p$ con $f_n$ siendo sólo la proyección que deja caer la última prima. Esto da una descripción simple de $S$ como $$\prod_{p\text{ prime}}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\oplus\mathbb{N}}.$$