Determinar si la serie $\sum_{n=1}^\infty {{1\over \sqrt{n}}-{1\over{\sqrt{n+1}}}}$ es convergente o divergente, justifica la respuesta.

Question

Estoy tratando de encontrar la salida si $\sum_{n=1}^\infty {{1\over \sqrt{n}}-{1\over{\sqrt{n+1}}}}$ es divergente o convergente.

Aquí hay algunas reglas que da mi libro y que intentaré seguir:

Mirando estos puedo ver que no es el #1, no es una forma de serie p; No es geométrico así que eso descarta el #2; el #3 parece un buen ajuste, de todos modos no creo que los siguientes 5 pasos se apliquen.

Usando #3, tendré que dividirlo en $a_n$ et $b_n$ así que voy a seguir adelante y combinarlos en un solo término: $${ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} } \over {\sqrt{n}\sqrt{n+1}}$$ Y es en este punto donde estoy atascado. Necesito averiguar las mayores potencias de n en el numerador y el denominador.

Si estoy en el camino equivocado agradecería un poco de ayuda, de lo contrario, sólo tengo que averiguar cómo conseguir $a_n$ et $b_n$ . Gracias.

Answer 1

Las series telescópicas, aunque no se mencionan en tu lista, son importantes y espero que te las hayan enseñado.

Puede escribir el $N$ la suma parcial como $$ \bigg(\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}\bigg)+\bigg(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\bigg)+\cdots+\bigg(\frac{1}{\sqrt{N}}-\frac{1}{\sqrt{N+1}}\bigg) $$ donde no es muy difícil ver todos los términos excepto el primero y el último que se cancelan, dejándote con $$ 1-\frac{1}{\sqrt{N+1}}\to 1 $$ como $N\to \infty$ .

Answer 2

Sin reconocer el carácter telescópico de la serie tenemos

$$\sqrt{n+1}-\sqrt n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$$

Por lo tanto, tenemos

$$\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac1{\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt n\right)}\le \frac{1}{2n^{3/2}}$$

En la medida en que la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}}$ converge, la serie de interés hace lo mismo.

Answer 3

La serie converge obviamente a $1$ por medio de la suma parcial telescópica:

$$\sum_{n=1}^k \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}} =1-\frac{1}{\sqrt{k+1}}$$