Dejemos que $\{e_k\}_{k=1}^\infty$ sea un conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert $H$ . Si $\{c_k\}_{k=1}^\infty$ es una secuencia de números reales positivos tal que $\sum c_k^2<\infty$ y luego el conjunto: $$A=\left\{\sum_{k=1}^{\infty} a_ke_k :|a_k|\leq c_k\right\}$$ es compacto en $H$ .
Mi esfuerzo: Tenemos que demostrar que cada secuencia $\{f_n\}$ tiene una subsecuencia $\{{f_n}_k\}$ para que $\{{f_n}_k\}$ converge a un límite en $A$ Estoy tratando de construir una secuencia de este tipo:
En primer lugar, para cada $n$ mira $|\langle f_n,e_1\rangle|=|a_{n1}|\leq c_1$ entonces la secuencia $\{a_{n1}\}$ está acotada por lo que debe existir una subsecuencia que converja y definimos el límite como $l_1$ . Así que continuamos para todos los vectores del conjunto dado y definimos el límite de estos subconjuntos como $f=\sum_{k=1}^{\infty} l_ke_k \in H$ .
Pero algo debe estar mal con la prueba ya que no he utilizado $\sum c_k^2<\infty$ .
Gracias.
