estructura diferencial de $S^n$ y el mapa de difeomorfismo

Question

Dejemos que $S^n$ sea la esfera unitaria en $\mathbb{R}^{n+1}$ y $TS^n=\{(x,v): x\in S^n,v\in T_x S^n\}$ .

Demuestra que $F: TS^n\times\mathbb{R}\to S^n\times\mathbb{R}^{n+1}$ dado por $F((z,v),\lambda)=(z,v+\lambda z)$ es un difeomorfismo.

Empecé con

Dejemos que $M=S^n$ sea la esfera unitaria en $\mathbb{R}^{n+1}$ . Para cada $x\in S^n$ el espacio tangente $T_x S^n$ puede identificarse con el subespacio de vectores $v$ ortogonal a $x$ . Esto da lugar a una biyección $F$ de $TS^n$ en el subconjunto \begin{align*} \{(x,v)\in S^n\times\mathbb{R}^{n+1},\,\,v\in T_x S^n\} \end{align*} de $\mathbb{R}^{2(n+1)}$ . Este es el conjunto de niveles del mapa suave \begin{align*} F: \mathbb{R}^{2(n+1)}\to\mathbb{R}^{n+1},\quad F(x,v):=(\|x\|^{n+1},x\cdot v) \end{align*} en algún valor regular adecuado.

Primero quiero identificar el conjunto de niveles G, luego calcular la Derivada en un punto $DG|_x$ pero no sé cómo encontrar el conjunto de niveles de $S^n$ . Y No sé cómo ayuda esto a mostrar el mapa $F((z,v),\lambda)=(z,v+\lambda z)$ es un difeomorfismo.

Agradezco cualquier ayuda.

Answer 1

La aproximación más fácil para mí es construir una inversa y luego observar que ambas funciones son suaves por lo que $F$ es un difeomorfismo.

Para ello, defina $F^{-1}(z,w)=((z,w-\langle z,w\rangle z),\langle z,w\rangle)$ . Ahora podemos comprobar que $F\circ F^{-1}$ y $F^{-1}\circ F$ son la identidad en sus respectivos dominios:

$F^{-1}\circ F((z,v),\lambda)=F^{-1}(z,v+\lambda z)=((z,v+\lambda z-\langle z,v+\lambda z\rangle z),\langle z,v+\lambda z\rangle)=(z,v+\lambda z-\lambda z)=(z,v)$

Utilicé que la norma de $z$ es $1$ y que $z$ y $v$ son perpendiculares por definición.

$F\circ F^{-1}(z,w)=F((z,w-\langle z,w\rangle z),\langle z,w\rangle)=(z,w-\langle z,w\rangle z+\langle z,w\rangle z)=(z,w)$

Finalmente, todas las operaciones que estamos utilizando son suaves, como la suma, la multiplicación de escalares y el producto punto, por lo que ambos mapas son suaves, de lo que concluimos que $F$ es un difeomorfismo.

No sé cómo componer una matriz, pero describiré $dF$ Según lo solicitado (ver comentarios). Tiene $2n+2$ filas y $2n+3$ columnas. La esquina superior izquierda es un $(n+1)\times (n+1)$ matriz de identidad y la esquina inferior izquierda es una $(n+1)\times (n+1)$ matriz de identidad veces $\lambda$ . A la derecha de este $\lambda I$ bloque es otro $(n+1)\times (n+1)$ matriz de identidad, y directamente encima de ésta hay una $(n+1)\times (n+1)$ matriz cero. En la última columna, la parte superior $n+1$ las entradas son $0$ y el último $n+1$ son el vector $z$ .

He tenido que revisar un par de definiciones, pero parece que la importación para $K$ -es que el haz tangente sobre $S^{n}$ y el $n$ -haz trivial de dimensiones sobre $S^{n}$ son establemente isomorfas y, por tanto, representan el mismo elemento en el real $K$ -teoría de $S^n$