¿Existe una expresión de forma cerrada para los ceros de la siguiente ecuación?
$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4 - x^2} = 0 \text{ where } x \in \rm \mathbb R$$
¿Podría sugerir un método numérico para calcular los valores aproximados de estos ceros si esa solución no existe?
Si se descompone $\frac{1}{n^4 - x^2}$ en $\frac{1}{2x}(\frac{1}{n^2 - x} - \frac{1}{n^2 + x})$ y calcular ambas series de forma independiente (todo converge de forma absoluta, por lo que está bien hacerlo), se obtendría una ecuación
$$\pi\sqrt{x}(\coth{\pi\sqrt{x}} + \cot{\pi\sqrt{x}}) = 2$$
lo que no parece prometedor para una forma cerrada. Es puede ser un buen punto de partida para una solución numérica.
En esa forma el método de Newton funciona razonablemente bien - parece que la convergencia es cuadrática.
Sólo una pregunta: ¿cómo se calculan las dos series? ¿Utilizando el teorema del residuo o algo similar?
@AlessandroPalla No, resulta que los conozco. Se desprenden de la representación del producto infinito de Euler de $\sin x$ . Otra forma es una demostración directa - ver www-m9.ma.tum.de/foswiki/pub/WS2010/IMCSeminar/Cotangent.pdf para un ejemplo inspirador.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
2 votos
Estrictamente hablando, debería añadir $=0$ para convertir su expresión en una ecuación. ..