un operador lineal en el espacio de mapas continuos de $C[0,1]$ a $\mathbb R$

Question

$X_{n+1}=f_{\omega_n}(X_n)$ .

$f_k$ sean conjuntos finitos de cartografía continua de $S\to S$ , $S$ es un espacio métrico compacto, $\omega_0,\dots$ son una secuencia iid de RV discretos. $p_k=\mathbb P(\omega_i=k)$ , defina el operador en $C[0,1]$ , $f: S\to \mathbb R$ ,

$T(f)(x)=\mathbb E(f(X_{n+1})| X_n=x)= \sum_{k=1}^{n} p_k (f\circ f_k)(x)$

(1)¿Podría alguien ayudarme a entender lo que ocurre en la ecuación?

(2) No entiendo cómo la parte de la expectativa es igual a la parte de la suma y cómo la parte de la expectativa es igual a $T(f)(x)$ .

(3)Sería estupendo que me dieran una explicación. Entiendo que la parte de la suma es igual a $T(f)(x)$ .

así que según eso

$T(f+g)= \sum p_k(f+g)\circ f_k= \sum p_k f\circ f_k+\sum p_k g\circ f_k $ .

(4)También sería genial cuál es la expresión para $T^n(f)(x)$ para algún número natural $n$ según su definición del operador?

Muchas gracias.

Answer 1

En primer lugar, el operador $T$ actúa sobre la función $f$ no en el valor $f(x)$ . Por lo tanto, es apropiado escribir $Tf(x)$ o incluso $(Tf)(x)$ pero no $T(f(x))$ .

Si $X_{0}=x$ entonces hay probabilidad $p_{1}$ que $X_{1}=f_{1}(x)$ , probabilidad $p_{2}$ que $X_{1}=f_{2}(x)$ , probabilidad $p_{3}$ que $X_{1}=f_{3}(x)$ etc. Por lo tanto, la suma es una expectativa \begin{equation*} \sum_{k}p_{k} f_{k}(x)=\mathbb{E}[X_{1}\mid X_{0}=x] \end{equation*} \begin{equation*} \sum_{k}p_{k} f(f_{k}(x))=\mathbb{E}[f(X_{1})\mid X_{0}=x]=Tf(x). \end{equation*} Ahora esa expresión es lineal en $f$ como creo que has descubierto usted mismo. Así que podemos hacer el operador lineal $T$ actuando en $f$ .

\begin{align*} Tf(x)=\mathbb{E}\left(f(X_{n})\mid X_{n-1}=x\right)&= \sum_{k}p_{k}(f\circ f_{k})(x)\\ T^{2}f(x)=\mathbb{E}\left(f(X_{n})\mid X_{n-2}=x\right)&= \sum_{k_{1}k_{2}}p_{k_{1}}p_{k_{2}}(f\circ f_{k_{1}}\circ f_{k_{2}})(x)\\ T^{3}f(x)=\mathbb{E}\left(f(X_{n})\mid X_{n-3}=x\right)&= \sum_{k_{1}k_{2}k_{3}}p_{k_{1}}p_{k_{2}}p_{k_{3}}(f\circ f_{k_{1}}\circ f_{k_{2}}\circ f_{k_{3}})(x)\\ \end{align*}

Esto significa que $(Tf)(x)$ , $(T^2 f)(x)$ y $(T^3 f)(x)$ respectivamente.