Cómo encontrar el $\pi$ ?

Question

Sabemos que a medida que aumentamos el número de lados en el polígono regular, después de infinitas repeticiones nos dará un círculo. Entonces, ¿hay alguna forma de encontrar una función que se aproxime al valor de $\pi$ cuando consideramos $\lim\limits_{n\to \infty}$ ?

Answer 1

El área de un regular $n$ -gon circunscrito por el círculo de radio $r$ es $$A_n = \frac{1}{2}nr^2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right).$$ Puede obtener la prueba aquí . Tomando el límite, obtendremos el círculo cuando $n\to\infty$ . Podemos utilizar esta fórmula para $\pi$ , $$\pi=\frac{\text{Area of circle with radius r}}{\text{radius}^2}=\frac{1}{r^2}\cdot \lim_{n\to\infty}A_n=\lim_{n\to \infty}\frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right).$$

Con este resultado se puede tender a $\pi$ poniendo valores cada vez más grandes de $n$ en $\frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ . Aquí He trazado $\pi -\frac{x}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{x}\right)$ para los primeros valores de $x$ muy rápido, luego se acerca lentamente $0$ significa que $\frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\to\pi$ muy lentamente pero, los métodos explicados en el enlace en los comentarios tienden $\pi$ mucho más rápido que esto.