¿Por qué una curva elíptica es un grupo?

Question

Considere un curva elíptica $y^2=x^3+ax+b$ . Es bien sabido que podemos (en el caso genérico) crear una adición en esta curva convirtiéndola en un grupo abeliano: La ley del grupo se caracteriza porque el elemento neutro es el punto en el infinito y porque $w_1+w_2+w_3=0$ si y sólo si los tres puntos $w_j$ son las intersecciones (con multiplicidad) de una línea y la curva elíptica.

Los grupos pueden ser difíciles de trabajar, pero en la mayoría de los casos demostrar que el grupo es de hecho un grupo es fácil. La curva elíptica es una excepción evidente. La conmutatividad es fácil, pero la asociatividad es difícil, al menos para este no algebrista: la prueba parece un gran cálculo, y la asociatividad parece un accidente algebraico más que algo que debe que sea cierto.

Esta es mi pregunta, entonces: ¿Por qué la ley de grupo en una curva elíptica es asociativa? ¿Hay alguna buena razón para ello? ¿Es acaso el grupo un subgrupo o un cociente de algún otro grupo que sea más fácil de entender? ¿O puede construirse a partir de otros grupos de alguna manera?

Deduzco que históricamente, la ley de grupos se descubrió a través de la ley de adición para el Weierstrass $\wp$ -función . La ley de adición no es en sí misma totalmente obvia, además este enfoque parece limitado al caso en que el campo base es $\mathbb{C}$ . En cualquier caso, me explayaré un poco sobre esto en breve, en una respuesta (de la wiki de la comunidad).

Answer 1

Todo lo que escribo a continuación se lleva a cabo explícitamente en el capítulo III del libro de Silverman sobre curvas elípticas. En los primeros capítulos, define el grupo Picard.

Para cualquier curva sobre cualquier campo, los geómetras algebraicos están interesados en un grupo asociado llamado grupo de Picard. Es un cierto cociente del grupo abeliano libre sobre puntos de la curva. Está formado por las sumas formales de los puntos de la curva, moduladas por las sumas formales que se obtienen al observar los ceros y los polos de las funciones racionales. Es una herramienta muy importante en el estudio de las curvas algebraicas.

Lo más especial de las curvas elípticas, a diferencia de otras curvas, es que resultan estar en biyección teórica natural con sus propios grupos de Picard (o en realidad, el subgrupo $Pic^0(E)$ ). La biyección es la siguiente: sea O el punto en el infinito. Entonces envíe un punto P en la curva elíptica a la suma formal de puntos [P] - [O]. (No es obvio que esto sea una biyección, pero el trabajo para demostrarlo es todo "puro razonamiento geométrico" sin cálculos). Así que automáticamente hay una ley de grupo sobre los puntos de E. Entonces no se requieren fórmulas complicadas para demostrar que bajo esta ley de grupo, la suma de tres puntos colineales es O. Así que gratis, también obtienes que esta ley de grupo es la misma que la que definiste en la pregunta y que la que definiste es asociativa!

Answer 2

Una prueba que me gusta es que el grupo de puntos de la curva es el grupo de clases del anillo $R=k[x,\sqrt{x^3+Ax+B}]$ donde $k$ es el campo sobre el que estás trabajando. Establecer $y=\sqrt{x^3+Ax+B}\in R$ y que $K$ denotan el campo de fracciones de $R$ . Definir los ideales $I_P$ de $R$ para cada punto $P$ en la curva de la siguiente manera. Para $P=O$ el punto en el infinito, se establece $I_O=R$ . Para $P=(u,v)$ dejar $I_{P}=\langle x-u,y-v \rangle$ . Hay una relación de equivalencia $\sim$ en los ideales no nulos de $R$ definido por $I\sim J$ si $J= \alpha I$ donde $\alpha\in K^*$ . Las clases de equivalencia de los ideales forman un monoide a través de $[I][J]=[IJ]$ que llamaré el clase monoide de $R$ .

Entonces se puede demostrar por cálculo explícito que

1. Por puntos $P$ y $Q$ en la curva, si $T=P+Q$ puis $[I_P][I_Q]=[I_T]$ .

2. Por puntos $P$ y $Q$ en la curva, $[I_p]=[I_Q]$ si y sólo si $P=Q$ .

De esto se desprende que la operación de grupo sobre la curva es asociativa y que el conjunto de clases de la forma $[I_P]$ forman un subgrupo del monoide de clase de $R$ , isomorfo al grupo de la curva elíptica. Con un poco más de esfuerzo se puede demostrar que cada elemento del monoide de clase tiene la forma $[I_P]$ y que $R$ es un dominio Dedekind.

(Debo decir que este argumento es una variante simplista de la prueba del grupo Picard expuesta anteriormente por Hunter).

Answer 3

Respuesta corta: porque es un toroide complejo . La explicación que se ofrece a continuación nos llevará a través de muchos temas.

Cubiertas topológicas

La curva debe considerarse sobre los números complejos, donde puede verse como una superficie de Riemann, por tanto una variedad cerrada orientada de dos dimensiones. ¿Cómo averiguar si esta en particular es una esfera, un toro o algo más? Basta con considerar una doble cobertura en $x$ -y cuenta las características de Euler como $-2 \cdot 2 + 4 = 0$ (no olvides el punto en el infinito).

Toros complejos

Así que esto es un toro; ahora un toro con estructura compleja puede definirse siempre como un cociente $\mathbb C/\Lambda$ , donde $\Lambda$ es el retícula de periodos . Se puede escribir como integrales $\int_\gamma \omega$ de cualquier forma diferencial $\omega$ sobre todos los elementos $\gamma \in \pi_1$ . La elección de la forma diferencial es única hasta $\lambda \in \mathbb C$ .

Suma algebraica

Un mapa complejo de un toro en sí mismo que deja la red $\Lambda$ fijo sólo puede ser dado por un turno. Una vez seleccionado un punto base, estos desplazamientos están en correspondencia uno a uno con puntos de $E$ . Tenemos un único punto distinguido - el infinito - así que vamos a elegirlo como punto base. Resulta que ahora tenemos un mapa de adición $(u, v) \to u\oplus v$ aunque hasta ahora se ha definido de forma puramente algebraica.

Significado geométrico

Ahora detengámonos y preguntémonos: cómo ver esta adición geométricamente ? Para empezar, considere el mapa que envía $u$ hasta el tercer punto de intersección con la línea que contiene ambos $u$ y 0 (el punto infinito). No es difícil ver que fijamos el 0 pero cambiamos cada clase $\gamma$ en un grupo fundamental en $-\gamma$ , por lo que debemos tener el mapa $u\mapsto -u$ aquí.

Leyes de la teoría de grupos

¿Qué pasaría si se toma una línea a través de $u$ y $v$ ? Cambiando temporalmente las coordenadas para que $u$ se convierte en el punto infinito, se escribe ese mapa como $(u, v) \mapsto -(u+v)$ . Ahora bien, si se tomaran tres puntos, habría dos formas diferentes de sumarlos; esas llevarían a $(u+v)+w$ y $u+(v+w)$ como números complejos, que nosotros saben que son asociativos .

Lógicamente probado

En lo anterior, hemos trabajado sobre números complejos, pero hemos demostrado la asociatividad que es un teorema formal sobre la sustitución de unas expresiones racionales en otras. Como funciona sobre campos complejos, se requiere trabajar sobre todos los campos .

(En cualquier caso, el gran descubrimiento de mediados del siglo XX fue que realmente se puede tomar toda la intuición descrita anteriormente y aplicarla al caso de las curvas elípticas sobre un campo arbitrario)

Cálculos analíticos (bonus)

Consideremos una línea que pasa por los puntos $u$ , $0$ y $-u$ . Esta línea es realmente vertical, y $y$ es una función bien definida allí que tiene dos ceros y un doble polo en el infinito. Tras un desplazamiento y multiplicación de varias funciones de este tipo obtendremos una función meromorfa sobre un toro complejo con polos $p_i$ y ceros $z_i$ teniendo la propiedad $\sum p_i = \sum z_i$ . Este método puede dar todas las funciones de este tipo y sólo ellas; no es difícil ver que sólo se permiten funciones meromorfas con esta propiedad en la curva elíptica.

Por ejemplo, $\wp'$ -funciones son los que tienen triple polo en el 0 y ceros simples en los puntos $\frac12w_1, \frac12w_2, \frac12(w_1+ w_2)$ donde $w_1, w_2$ son generadores de $\Lambda$ .

Jacobiano de una curva (bono 2)

La fórmula anterior describe qué tipos de funciones se permiten en nuestra curva. Es una buena idea organizar esta información en una curva: en este caso, la información es que una sola expresión $p_1 + p_2 + \cdots + p_n - z_1 - \cdots - z_n$ considerado un punto de la curva, debe desaparecer. Para las curvas de mayor género, son necesarias más relaciones; para $\mathbb C\mathbb P^1$ , no hay relaciones más allá de número de polos = número de ceros son necesarias. Se trata de relaciones en el grupo de clases de divisores (= Jacobiano de una curva) mencionadas en otras respuestas.

En particular, las curvas elípticas coinciden con su jacobiano y esa es otra explicación de la ley aditiva.

Answer 4

Esto era demasiado largo para un comentario.

Para ampliar la respuesta de Hunter, hay algo que se puede asociar a cualquier curva llamada su variedad jacobiana, cuyos puntos se pueden identificar con haces de líneas de grado 0 (se pueden identificar con combinaciones lineales formales de puntos cerrados de la curva cuya suma de coeficientes es 0, módulo de una cierta relación de equivalencia). Existe una operación de grupo en la variedad jacobiana dada por la tensada de haces de líneas (o la suma de combinaciones lineales), y su dimensión es el género de la curva. Dado que las curvas elípticas son curvas de género 1, cabe esperar que la variedad jacobiana sea isomorfa a la curva elíptica, y de hecho así es. Así que esto da una razón de por qué existe una ley de grupo en la curva elíptica.

El problema es que no existe un isomorfismo canónico de una curva elíptica a su variedad jacobiana. Hay una manera de especificar un isomorfismo una vez que se señala un punto cerrado en la curva elíptica (esto es como elegir un elemento de identidad). Así que las curvas elípticas no tienen realmente una ley de grupo, son las curvas elípticas con la elección de un punto racional las que la tienen.

(Esto lo aprendí del capítulo IV de la obra de Hartshorne Geometría algebraica )

Answer 5

Consideremos un subgrupo aditivo $\Lambda$ de $\mathbb{C}$ para que $\mathbb{C}/\Lambda$ es compacto (de hecho, un toroide). El correspondiente Weierstrass $\wp$ -función satisface la EDO $\wp'(z)^2=4\wp(z)^3-g_2z-g_3$ por lo que si escribimos $x=\wp(z)$ y $y=\wp'(z)$ puis $(x,y)$ se encuentra en la curva elíptica $y^2=4z^3-g_2z-g_3$ (de hecho, esto parametriza toda la curva). La adición en $\mathbb{C}/\Lambda$ está bien definido, por supuesto, y el teorema de la adición establece que si $z_1+z_2+z_3=0$ entonces el correspondiente $(x_j,y_j)$ satisfacer $$\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\\\x_2&y_2&1\\\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}=0,$$ es decir, los tres puntos $(x_j,y_j)$ se encuentran en una línea. Así, el mapa $z\mapsto(x,y)$ mapea la adición habitual en $\mathbb{C}/\Lambda$ a la adición de la curva elíptica en la curva.