¿Alguien podría ayudarme con esto?
Que $x, y, z$ sea positivo números enteros con máximo común divisor $1$. Si $\frac 1 x +\frac 1 y=\frac 1 z$, entonces mostrar que $\sqrt{x + y}$ es un entero.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
$x+y = \frac{xy}{z} $ es un número entero, así $ z \mid xy$.
Que $z = z_x \times z_y $ donde $z_x \mid z$ y $z_y \mid y$.
Que $x = z_x \times x_x$ y $y = z_y \times y_y$, donde cada variable es un entero.
Entonces tenemos que $z_xx_x + z_y y_y = x_xy_y$
Aplicar la condición de que $\gcd(x,y,z)=1$ a la conclusión de que el $x_x | y_y $ y $y_y | x_x$. (Rellene este argumento. Si quieres un toque más...
$ \gcd(x,y,z) = 1 \Rightarrow \gcd(x_x, z_y ) = 1$. Desde $x_x(z_x-x_y) = -z_y y_y$ por lo tanto, $ x_x \mid y_y$
Por lo tanto, $\sqrt{x+y} = x_x$ es un entero.
eugene y
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705
Nota: podemos reemplazar la condición $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$ $ con la siguiente más débiles:
Para cada principal $p$, $$\nu_p(x+y)=\nu_p(x)+\nu_p(y)-\nu_p(z)=S_p\geq 0$ $
En primer lugar, supongamos que $\nu_p(z)=0$. Entonces $\nu_p(x+y)=\nu_p(x)+\nu_p(y)$, que $\nu_p(x)=\nu_p(y)$ $S_p$ es incluso.
De lo contrario, supongamos wlog que $\nu_p(x)=0$. Si $\nu_p(y)=0$, entonces el $S_p=0$, así que Supongamos que $\nu_p(y)\geq 1$. Entonces $\nu_p(x+y)=0\implies S_p=0$ otra vez.
Así en todos los casos, $S_p$ es uniforme. Sigue que $x+y$ es un cuadrado perfecto.
rlpowell
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126
Escribir $y=n-x$, de modo que lo que quiero mostrar es que el $n$ es un cuadrado. Tenga en cuenta que mcd-sabio, $(x,n,z)=(x,y,z)=1$. Ahora vamos a $d=(x,n)$ y escribir $n=dm$$x=du$,$(m,u)=1$. Tenga en cuenta que$(d,z)=1$. La ecuación de ${1\over x}+{1\over n-x}={1\over z}$ reescribe como $nz=x(n-x)$, que se convierte en
$$dmz=du(dm-du)$$
La cancelación de la $d$ hojas de $mz=du(m-u)$, y esto implica $d|m$, ya que el $(d,z)=1$, por lo que escribir $m=d\ell$, obtenemos (después de la cancelación de la $d$)
$$\ell z= u(d\ell-u)$$
Esto implica $\ell|u^2$. Pero $\ell$ $u$ son relativamente primos, por lo tanto $\ell=1$, a partir de la cual llegamos a la conclusión de que $n=d^2$.
