Me dijeron que cuando una onda de luz visible se refleja (o refracta) entonces el rayo incidente, la normal a la superficie reflectante (o interfaz de dos medios ópticos) y el rayo reflejado y refractado son coplanares, si suponemos la propagación rectilínea de la luz (la aproximación de la óptica geométrica). Pero no entiendo por qué es así. Una explicación clásica sería muy apreciada. Gracias.
Respuesta
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Así que tienes 2 vectores iniciales: $\vec k$ es el vector de onda de la luz y $\hat n$ es la normal a la superficie reflectante.
El vector de onda final puede ser alguna combinación de:
$$ \vec k' = a\vec k + b\hat n + c(\vec k \times \hat n)$$
donde los prefactores pueden ser combinaciones de números, y escalares disponibles como:
$$ 0, 1, k^2, \vec k\cdot \hat n, ||\vec v \times \hat n|| $$
Para la reflexión no coplanaria, necesitamos $c\ne 0$ .
Si aplicamos la inversión del tiempo al proceso, entonces:
$$ T(\vec k') = aT(\vec k) + bT(\hat n) + c(T(\vec k) \times T(\hat n))$$
$$ (-\vec k') = a(-\vec k) + b(+\hat n) + c((-\vec k) \times (+\hat n))$$
$$ -\vec k' = -a\vec k + b\hat n - c(\vec k \times \hat n)$$
De modo que $a$ y $c$ necesitan estar a tiempo, mientras que $b$ es el tiempo impar. Si miramos nuestra lista de pre-factores, el único tiempo-impar es $\vec k \cdot \hat n$ , por lo que podemos escribir:
$$ \vec k' = a\vec k + b'(\vec v\cdot\hat n)\hat n + c(\vec k \times \hat n)$$
Ahora aplica el operador de paridad:
$$ P(\vec k') = aP(\vec k) + b'(P(\vec k)\cdot P(\hat n))P(\hat n) + cP(P(\vec k) \times P(\hat n))$$
$$ (-\vec k') = a(-\vec k) - b'(\vec k\cdot \hat n)\hat n + c(-\vec k \times -\hat n)$$
$$ -\vec k' = -a\vec k - b'(\vec k\cdot \hat n)\hat n + c(\vec k \times \hat n)$$
Para que la paridad se conserve, $c=0$ y..:
$$ \vec k' = a\vec k + b'(\vec k\cdot\hat n)\hat n $$
A incidencia cero (sin reflexión, o $\vec k' = \vec k$ ), esto se convierte en:
$$ \vec k' = a\vec k = \vec k$$
así que $a=1$ .
Así que ahora:
$$ \vec k' = \vec k + b'(\vec k\cdot\hat n)\hat n $$
Con una incidencia normal, $\hat n = -\vec k/k^2$ y $\vec k' = -\vec k$ :
$$ -\vec k = \vec k + b'(-k)\hat n = \vec k + b'\vec k= \vec k(1+b') $$
$$ -1 = 1+b'$$
$$ b=-2$$
También se podría argumentar que 2 reflexiones normales dejan $|\vec k|$ sin cambios, por lo que:
$$ k''= k'(1+b)=k(1+b)(1+b) = k$$
$$ b^2 +2b +1 =1 $$ $$ b(b+2)=0$$
que tiene raíces $b=0$ (sin reflejos), $b=-2$ (2 reflexiones).
Finalmente:
$$ \vec k' = \vec k -2(\vec k\cdot\hat n)\hat n $$
es la única relación que conserva la simetría de tiempo-reversión, la simetría de paridad y funciona en los 2 casos extremos.
Nota: Podría haber preguntado simplemente: "¿Cómo elegiría la luz la izquierda o la derecha si fuera no coplanaria?", pero eso no es muy claro.
Se puede incluir la polarización, pero con cuidado. La polarización circular es un vector, pero se alinea con $\pm \hat k$ y, por tanto, no añade información nueva. La polarización lineal no es un vector, es un alineamiento tensorial. La polarización vertical no distingue entre arriba/abajo, y la horizontal no distingue entre izquierda/derecha, por lo que tampoco puede hacer la elección.
