Esquema propio suave sobre Z

Question

¿Todo morfismo propio suave $X \to \operatorname{Spec} \mathbf{Z}$ avec $X$ nonempty tiene una sección?

EDITAR [Bjorn ha dado información adicional en un comentario más abajo, que reproduzco aquí. -- Pete L. Clark]

He aquí algunos casos especiales, según la dimensión relativa $d$ . Si $d=0$ la respuesta es positiva, ya que, según el teorema de Minkowski, toda extensión finita no trivial de $\mathbf{Q}$ ramifica al menos un primo. Si $d=1$ es una consecuencia (mediante la toma del jacobiano) del teorema de Abrashkin y Fontaine de que no existe ningún esquema abeliano no nulo sobre $\mathbf{Z}$ junto con (para el género $0$ caso) el hecho de que un álgebra de cuaterniones sobre $\mathbf{Q}$ La división en cada lugar finito es trivial.

Answer 1

Hola Bjorn. Déjame intentar un contraejemplo. Consideremos una hipersuperficie en proyectiva $N$ -espacio, definido por una ecuación de grado 2 con coeficientes integrales. ¿Cuándo es suave un artilugio de este tipo? Pues las derivadas parciales son todas lineales y tenemos $N+1$ de ellos, por lo que queremos algunos $(N+1)$ veces $(N+1)$ para tener un determinante no nulo mod $p$ para todos $p$ por lo que queremos que el determinante sea +-1. El determinante que estamos tomando es el de una matriz simétrica con entradas pares en la diagonal (porque la derivada de $X^2$ es $2X$ ) y, a la inversa, toda matriz entera simétrica con entradas pares en la diagonal procede de una hipersuperficie cuádrica proyectiva. Entonces, ¿no estamos buscando ahora una red unimodular par definida positivamente (para que no haya puntos Q o puntos R)?

Así que en conclusión creo que la hipersuperficie recortada por la forma cuadrática asociada de esta manera a, por ejemplo, el $E_8$ o la red de Leech da un contraejemplo.