¿Qué parte de la geometría diferencial puede desarrollarse completamente sin atlas?

Question

Podemos definir una variedad topológica como un espacio de Hausdorff de segundo conteo tal que cada punto tiene una vecindad abierta homeomorfa a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ . Además, podemos definir una variedad suave como una variedad topológica dotada de un haz de estructura de anillos de funciones suaves por transporte de estructura desde $\mathbb{R}^n$ , ya que $\mathbb{R}^n$ tiene una gavilla canónica de funciones diferenciables $\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ con una hoja de restricción canónica a cualquier subconjunto abierto. De este modo se obtiene un colector como espacio localmente anillado. (Por supuesto, esta definición se generaliza a todo tipo de colectores con pequeños ajustes).

Entonces las preguntas: Si ignoramos por completo la definición mediante atlas, ¿en algún momento chocaremos con un muro? ¿Podemos desarrollar plenamente la geometría diferencial sin recurrir nunca a los atlas?

Independientemente de la respuesta anterior, ¿hay algún libro que desarrolle la geometría diferencial principalmente desde el punto de vista del "espacio localmente anillado", pasando al lenguaje de los atlas sólo cuando es necesario? He mirado el libro de Kashiwara y Schapira "Sheaves on Manifolds", pero está mucho más centrado en los grupos abelianos y la (co)homología.

Editar:

Para aclarar (ya que Pete y Kevin lo entendieron mal): Es fácil demostrar que los enfoques son equivalentes, pero las pruebas que utilizan gráficos no siempre se traducen fácilmente en pruebas que utilizan gavillas.

Answer 1

Véase también "Theory of Lie Groups I" de C. Chevalley (Princeton UP 1946), capítulo III. Este enfoque (estructura diferencial definida mediante la elección de un anillo de funciones) se desarrolla en R. Penrose y W. Rindler, "Spinors and Space-Time 1" (Cambridge UP 1984), sección 4.1 y siguientes.

Answer 2

Estoy en una búsqueda similar y tengo una respuesta tentativa (la estoy elaborando). Mi definición de un colector diferencial generalizado sería Un espacio localmente anillado con una gavilla cotangente no trivial. Las derivadas covariantes pueden definirse utilizando sólo la gavilla cotangente, y existe una versión dual del lema fundamental de la geometría de Riemann para ello. (Mi credo: olvidar el espacio tangente).

La geometría diferencial abstracta de Mallios et al me parece bastante atractiva, pero aún no la he leído en detalle (me falta tiempo, dinero y una biblioteca matemática utilizable). Un problema inmediato que veo es su definición de haz vectorial, siendo el sospechoso habitual, un módulo de gavilla localmente finito y libre. Pero una de las principales motivaciones para usar gavillas son las aplicaciones de dimensión infinita, como el espacio de trayectorias (sospecho que el espacio de trayectorias debería introducirse antes que las geodésicas, los campos de Jacobi, la relatividad general, quizás el movimiento browniano... No sé cómo se conectan las láminas con los espacios uniformes...).

Tengo una copia incompleta de las conferencias de Jürgen Bingener, Regensburg 1983/4 sobre los fundamentos del cálculo y la geometría de Riemann en el lenguaje de los espacios anillados. Tengo que contactar con él y pedirle más.