¿Qué parte de la geometría diferencial puede desarrollarse completamente sin atlas?

Question

Podemos definir una variedad topológica como un espacio de Hausdorff de segundo conteo tal que cada punto tiene una vecindad abierta homeomorfa a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ . Además, podemos definir una variedad suave como una variedad topológica dotada de un haz de estructura de anillos de funciones suaves por transporte de estructura desde $\mathbb{R}^n$ , ya que $\mathbb{R}^n$ tiene una gavilla canónica de funciones diferenciables $\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ con una hoja de restricción canónica a cualquier subconjunto abierto. De este modo se obtiene un colector como espacio localmente anillado. (Por supuesto, esta definición se generaliza a todo tipo de colectores con pequeños ajustes).

Entonces las preguntas: Si ignoramos por completo la definición mediante atlas, ¿en algún momento chocaremos con un muro? ¿Podemos desarrollar plenamente la geometría diferencial sin recurrir nunca a los atlas?

Independientemente de la respuesta anterior, ¿hay algún libro que desarrolle la geometría diferencial principalmente desde el punto de vista del "espacio localmente anillado", pasando al lenguaje de los atlas sólo cuando es necesario? He mirado el libro de Kashiwara y Schapira "Sheaves on Manifolds", pero está mucho más centrado en los grupos abelianos y la (co)homología.

Editar:

Para aclarar (ya que Pete y Kevin lo entendieron mal): Es fácil demostrar que los enfoques son equivalentes, pero las pruebas que utilizan gráficos no siempre se traducen fácilmente en pruebas que utilizan gavillas.

Answer 1

Aparte del libro de Nestruev que es bueno pero desgraciadamente muy elemental, te recomiendo que eches un vistazo al Cálculo Global de Ramanan. Ramanan casi consigue evitar las coordenadas excepto en algunos lugares y sin embargo es capaz de demostrar teoremas no triviales.

Answer 2

Es un ejercicio fácil demostrar que la definición estándar de un colector es equivalente a la definición de espacios anillados de un colector. (¡Inténtalo!)

Esta última definición es buena porque la condición de la gavilla elimina la necesidad de todo ese asunto del "atlas máximo".

Answer 3

Hay otra forma de desarrollar la geometría diferencial sin atlas, e incluso sin cartas, que es Difeología . No estoy seguro de que esta sea la respuesta correcta a su pregunta, pero vale la pena mirarlo.

Comentario : Hay muchas maneras de desarrollar la geometría diferencial sin atlas. Se puede cambiar la categoría de las variedades diferenciables por otra más amplia. Este es el caso de la difeología, o de los espacios diferenciales a la Sikorski. Estos dos enfoques corresponden a las dos formas en que se puede interpretar la estructura lisa: en el primer caso la estructura lisa se caracteriza por las parametrizaciones lisas en el espacio (llamadas parcelas), esta es la "vía de entrada", en el segundo caso la estructura lisa se caracteriza por las funciones lisas del espacio en el campo de los números reales $\bf R$ la "vía de salida". En cierto sentido son enfoques "duales" pero no equivalentes. La "intersección" de estos dos enfoques da lugar a los llamados espacios de Frölicher (espacios difeológicos reflexivos). La vía difeológica da una categoría más rica que la de Sikorski. Por ejemplo, da una estructura no trivial para los cocientes (como los espacios de hojas de una foliación densa, por ejemplo) donde la estructura de Sikorski es trivial. Las dos dan acceso a espacios de dimensión infinita, sin modelar necesariamente estos espacios en espacios vectoriales topológicos. Se puede desarrollar toda una teoría de homotopía, cohomología, cálculo diferencial y cohomología de De-Rham, grupos, haces de fibras, etc. en difeología sin perder mucho de lo aprendido en geometría diferencial de colectores.

Bueno, hay mucho que decir, puede ser demasiado para esta discusión :-)

Answer 4

Hay algo que se llama geometría diferencial abstracta "desarrollado por Mallios et al ( wikipedia ). Tal vez deberías hojear el primer capítulo de su libro "Modern Differential Geometry in Gauge Theories: Maxwell fields". Tiene muy buena pinta (a pesar del título físico). Pero no sé qué tan legible o qué tan impresionante es todo esto, no lo leí (hay demasiadas cosas explícitas agradables para entender...).

Answer 5

Al igual que todo el mundo está diciendo, no creo que realmente ganemos nada (al menos si nos limitamos a estudiar las diferenciales y las variedades riemannianas). En esencia, ambos enfoques nos dicen exactamente cómo son las funciones suaves en nuestra variedad, y la geometría diferencial se ocupa principalmente del comportamiento (analítico) de estas funciones en nuestra variedad y de lo que nos dicen sobre la variedad.

Por ejemplo, si uno quiere saber que las geodésicas existen, o que los campos vectoriales paralelos existen, el problema se reduce a encontrar soluciones únicas de las ecuaciones diferenciales localmente (y luego usar la unicidad para remendar todo). No veo la ventaja de un lado sobre el otro al desarrollar la teoría.

Por otro lado, es posible que haya temas más avanzados que se vean mejor desde el punto de vista de la teoría de gavillas, pero no puedo decir mucho al respecto.