¿Qué parte de la geometría diferencial puede desarrollarse completamente sin atlas?

Question

Podemos definir una variedad topológica como un espacio de Hausdorff de segundo conteo tal que cada punto tiene una vecindad abierta homeomorfa a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ . Además, podemos definir una variedad suave como una variedad topológica dotada de un haz de estructura de anillos de funciones suaves por transporte de estructura desde $\mathbb{R}^n$ , ya que $\mathbb{R}^n$ tiene una gavilla canónica de funciones diferenciables $\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ con una hoja de restricción canónica a cualquier subconjunto abierto. De este modo se obtiene un colector como espacio localmente anillado. (Por supuesto, esta definición se generaliza a todo tipo de colectores con pequeños ajustes).

Entonces las preguntas: Si ignoramos por completo la definición mediante atlas, ¿en algún momento chocaremos con un muro? ¿Podemos desarrollar plenamente la geometría diferencial sin recurrir nunca a los atlas?

Independientemente de la respuesta anterior, ¿hay algún libro que desarrolle la geometría diferencial principalmente desde el punto de vista del "espacio localmente anillado", pasando al lenguaje de los atlas sólo cuando es necesario? He mirado el libro de Kashiwara y Schapira "Sheaves on Manifolds", pero está mucho más centrado en los grupos abelianos y la (co)homología.

Editar:

Para aclarar (ya que Pete y Kevin lo entendieron mal): Es fácil demostrar que los enfoques son equivalentes, pero las pruebas que utilizan gráficos no siempre se traducen fácilmente en pruebas que utilizan gavillas.

Answer 1

Está el libro de Ramanan "Global Calculus" que desarrolla la geometría diferencial basándose en gran medida en la teoría de gavillas (deberías ver su definición de álgebra de conexión...). Evita las palabras mágicas "espacio localmente anillado" requiriendo que la gavilla de estructura sea una subgavilla de la gavilla de funciones continuas (de ahí que el ideal máximo de gavillas = funciones evanescentes).

Answer 2

Esto es un comentario, no una respuesta, pero es demasiado largo para que quepa en la caja de comentarios: tras leer la pregunta, las respuestas y los comentarios, no entiendo bien la intención de esta pregunta:

Podemos definir un colector como un espacio localmente anillado en el que cada punto tiene una vecindad isomorfo a un subconjunto abierto de ${\mathbb R}^n$ (o incluso sólo ${\mathbb R}^n$ con su gavilla de funciones suaves (además de la segunda contrastabilidad y la Hausdorffness, si se quiere). Como ha comentado Dimitri, la colección de todas ellas formará un atlas, pero no hace falta decirlo.

Como dice Pete Clark, lo que he dicho hasta ahora es evidente.

Pero parece que otro aspecto de la cuestión es si siempre se puede evitar trabajar en coordenadas. Esto parece no tener nada que ver con los atlas.

Por ejemplo, en los argumentos en la configuración del espacio localmente anillado, uno ciertamente en muchos casos verificará que una propiedad puede ser verificada localmente, y luego verificarla en el espacio euclidiano con su estructura natural suave. (Al igual que en la teoría de los esquemas, a menudo se demuestra que una propiedad es local y luego se comprueba en el caso afín).

Ahora cabe preguntarse: ¿se puede evitar este último tipo de argumentos? Esto parece poco probable: los colectores son definido que sea localmente euclidiano (independientemente de los posibles formalismos que se utilicen), y por lo tanto, si uno está demostrando teoremas sobre los colectores, tendrá que tendrá que usar esto en alguna parte. Por ejemplo, seguramente se puede definir la gavilla tangente de una forma libre de coordenadas, pero para demostrar que es localmente libre de rango igual a la dimensión de la variedad, se va a reducir a un cálculo local y luego se va a apelar al cálculo en espacios euclidianos; ¡no hay otra manera!

[EDIT: La última frase puede ser una declaración demasiado categórica; véase la respuesta de Dmitri Pavlov para una sugerencia de una reformulación más sustancialmente algebraica de la noción de noción de colector].

Answer 3

Yo diría que es a priori Está claro que TODA la geometría diferencial (y la topología diferencial, la geometría compleja, etc.) puede desarrollarse utilizando el lenguaje de los espacios localmente anillados en lugar de los atlas.

"Atlas" nunca fue una técnica importante en el tema; es sólo una definición, una especie de reificación de la idea de que hay alguna "estructura" específica que corresponde a la capacidad de decir cuándo una función en una variedad abstracta es suave o no. Pero la idea principal nunca ha sido otra que la siguiente y sencilla: para que una función sea suave, tiene que ser compatible con cada una de las cartas de coordenadas (es decir, una condición de diferenciabilidad en los mapas compuestos) que también tienen que ser compatibles entre sí y cubrir la variedad en cuestión. [Y uno generaliza fácilmente de las funciones suaves en una variedad suave a los mapas suaves entre variedades suaves].

La parte incómoda de la definición de atlas viene cuando nos apartamos de las condiciones simples (y obviamente necesarias) anteriores y decimos "Ahora un atlas es un máximo conjunto de tales gráficos [o posiblemente una clase de equivalencia de conjuntos de gráficos]". Esta parte de la definición ha sido explícitamente burlada por Gian-Carlo Rota en su [creo; no he vuelto a comprobar este punto] Pensamientos Indiscretos en el que se refiere al concepto como una "ficción educada".

De todos modos, la cuestión es que quieres ser capaz de decir lo que es un mapa suave entre colectores. Si estamos de acuerdo en lo que son tales mapas, entonces estamos hablando de la misma categoría concreta de variedades y mapas suaves. Ciertamente puedes comprobar que la noción de LRS da lugar a la misma categoría --pero a través de un formalismo que tú, yo y gran parte del mundo matemático contemporáneo probablemente veamos como más elegante que el de los atlas-- y eso es realmente lo único que importa.

Answer 4

Este asunto se discute en la "teoría de gavillas" de Tennison. Él define los manifolds de su manera y escribe (p. 90):
"...la definición anterior se ajusta a las definiciones más habituales en términos de atlas de cartas con mapas de transición del tipo apropiado[...], con dos posibles excepciones. Algunos autores pueden exigir que $X$ tienen una base contable de conjuntos abiertos. Otros autores pueden insistir en que $(X,\mathcal{O}_X )$ satisfacen una condición de separación (hausdorff)..."
También podría interesarle el tratamiento "Smooth Manifolds and Observables", de Jet Nestruev, en el que las variedades se caracterizan por su anillo de funciones suaves (tiene que ser "geométrico").
Por último, pero no por ello menos importante, podría echar un vistazo a "Algebraic Geometry over C-infinity rings" de Dominic Joyce,
http://arxiv.org/abs/1001.0023
donde la geometría diferencial "clásica" se generaliza ampliamente (en el sentido de las variedades derivadas de Spivak).

Answer 5

Su definición de un colector liso sigue utilizando atlas en una forma ligeramente disfrazada porque equivale a decir que una variedad suave es una variedad topológica con una cubierta abierta cuyos elementos están equipados con un isomorfismo de la restricción de la gavilla de estructura y la gavilla estándar en R^n. Esta cubierta abierta no es otra cosa que un atlas.

Por lo tanto, todavía se necesita una definición sin atlas de una variedad suave. Una posible forma de hacerlo es definir la categoría de las variedades lisas como la categoría opuesta a la subcategoría completa de la categoría de álgebras reales que consiste en álgebras reales que satisfacen ciertas propiedades, por ejemplo, la intersección de los núcleos de todos los homomorfismos a R debe ser 0. Cabe esperar que estas condiciones adicionales puedan formularse en términos de las dimensiones de algunos haces vectoriales construidos a partir de esta álgebra (por ejemplo, el haz tangente, el haz de chorro, las conexiones, etc.).