Demuestre que si $p\ge5$ puis $(mp)! \equiv m!p!^{m} \pmod{p^{m+3}}$ .

Question

Esta es una pregunta en la obra de Niven Introducción a la teoría de los números .

Creo que un resultado del ejercicio anterior

Si $p\geq 5$ y $m$ es un número entero positivo, entonces $\binom{mp-1}{p-1} \equiv 1 \pmod {p^{3}}$

ayudaría, y había tratado de aplicar Lemma de Hensel a ella. Pero no he conseguido construir una función que pueda relacionar las dos cuestiones.

Otro enfoque que se me ocurrió es por inducción sobre el entero positivo $m$ .

En primer lugar, para el caso base en el que $m=1$ el resultado es trivial.

Y para el paso de inducción asumo que la proposición se mantiene para $k=m-1$ . Entonces para $k=m$ , tenga en cuenta que $\frac{(mp)!}{(p)![(m-1)p]!}=\binom{mp}{p}$ y por la hipótesis de inducción tenemos $[(m-1)p]! \equiv (m-1)!p!^{m-1} \pmod{p^{m+2}}$ pero no puedo deducir su resto modulo $p^{m+3}$ de la hipótesis. Así que el método puede llegar a un callejón sin salida.

Answer 1

Es una consecuencia del teorema de Wolstenholme, en la forma: $$ \binom{mp}{p}\equiv m\pmod{p^3}. $$ [Hay una prueba bastante clara de este hecho, utilizando la fórmula de la órbita y la identidad de Chu-Vandermonde, por favor pregunte si lo necesita]. A partir de la última identidad, obtenemos: $$ (mp)! = (kp^3+m)\; p!\; ((m-1)p)! = K\, p^{m+3} + m\, p!\; ((m-1)p)!.$$ Ahora, $m\, p!\; ((m-1)p)!$ se puede reescribir como $$ m\, p!\; ((m-1)p)! = m\,(p!)^m \prod_{j=1}^{m-1}\binom{jp}{p},$$ por lo que, aplicando de nuevo el teorema de Wolstenholme, hemos terminado.