Acción transitiva de $SL_2(\mathbb{R})$ en $\mathbb{H}$

Question

Estoy estudiando Formas Modulares y no entiendo por qué la acción de $SL_2(\mathbb{R})$ en $\mathbb{H}$ definido por $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}z=\frac{az+b}{cd+d}$ es transitivo.

El autor de las notas que estoy leyendo sólo dice que para $z=x+iy \in \mathbb{H}$ tenemos $z=\begin{pmatrix} y^{\frac{1}{2}} & xy^{\frac{-1}{2}} \\ 0 & y^{\frac{-1}{2}} \end{pmatrix}i$ , por lo que está claro que la acción es transitiva.

¿Me estoy perdiendo algo obvio aquí? ¿Cómo se deduce la transitividad de esta observación?

Answer 1

Es un grupo . El autor explica por qué para cada $z$ existe un mapeo de elementos de grupo $i$ a $z$ . La composición de uno de estos mapas con el inverso de otro muestra que para cada $z$ y $w$ hay un mapeo de elementos de grupo $w$ a $z$ .

Answer 2

De hecho ${\rm Iso}^+(\Bbb R)$ (los mapas $z\mapsto ax+b$ con $a,b\in\Bbb R$ y $a>0$ ) actúa por sí sola de forma transitoria sobre $\Bbb H$ . Dados dos números complejos cualesquiera $z,w\in \Bbb H$ se puede mover $z$ a $w$ escalando primero por $a$ hasta $az$ tiene la parte imaginaria correcta, y luego lo trasladamos horizontalmente por $b$ hasta $az+b$ está en $w$ .