¿Cuál es la situación del problema del círculo de Gauss?

Question

Pour $r > 0$ , dejemos que $L(r) = \# \{ (x,y) \in \mathbb{Z}^2 \ | \ x^2 + y^2 \leq r^2\}$ es el número de puntos de la red que se encuentran en o dentro del círculo estándar de radio $r$ . Es fácil ver que $L(r) \sim \pi r^2$ como $r \rightarrow \infty$ . El Problema del círculo de Gauss es dar los mejores límites de error posibles: poner

$E(r) = |L(r) - \pi r^2|$ .

El propio Gauss dio el límite elemental $E(r) = O(r)$ . En 1916 Hardy y Landau demostraron que es no el caso de que $E(r) = O(r^{\frac{1}{2}})$ . Ahora se cree que esto es "casi" cierto: es decir:

Conjetura del círculo de Gauss: Para cada $\epsilon > 0$ , $E(r) = O_{\epsilon}(r^{\frac{1}{2}+\epsilon})$ .

Hasta donde yo sé, el mejor resultado publicado es un teorema de Huxley de 1993, que demuestra que se puede tomar $\epsilon > \frac{19}{146}$ .

(Para más información, consulte aquí )

A principios de 2007 estaba dando una clase de teoría de números elemental cuando me di cuenta de que Cappell y Shaneson habían subido un preprint al arxiv afirmando que demostraban la conjetura del círculo de Gauss:

http://arxiv.org/abs/math/0702613

Se subieron dos versiones más, la última en julio de 2007.

Ya han pasado algo más de tres años y, por lo que sé, el artículo no se ha publicado ni se ha retractado. Parece una situación extraña para un problema clásico importante. ¿Puede alguien decir cuál es la situación actual del problema del círculo de Gauss? ¿Es correcto el argumento de Cappell y Shaneson? ¿O hay algún fallo conocido?

Answer 1

Cuando Cappell visitó la UWM hace unos meses, uno de mis colegas le preguntó por el estado del trabajo. La respuesta fue que está "todavía en obras", lo que en lenguaje llano, probablemente, significa "que tiene graves problemas con alguna remota esperanza de solucionarlos". La cuestión es que no contiene ninguna idea que no fuera conocida por los expertos antes de su aparición, sólo una enorme cantidad de "forzamiento bruto" (que, por cierto, lo hace muy difícil de leer). A veces se puede tener éxito siendo simplemente más persistente que otros, pero no parece ser el caso aquí. El consenso es que los métodos existentes ya han sido llevados a su extremo y para proceder se requiere alguna idea fresca.

Answer 2

Este La reciente publicación arxiv de Shaneson afirma que se puede tomar $\epsilon > 1153/9750$ mejorando el límite de Huxley. También incluye el pasaje

En 2007 Cappell y el autor publicaron un artículo en el arXiv en el que afirmaban haber obtenido la estimación [en mi notación -- PLC] $O(r^{1/2+\epsilon})$ . Lamentablemente, no hemos podido elaborar una versión sin errores. El presente documento comparte con aquel la Proposición de la sección 5 y también hay algo parecido a lo que sigue inmediatamente a la Proposición.

Supongo que eso es todo.

Answer 3

Allá por 2007, más o menos, en una merienda escuché a un destacado experto en la materia hacer un guiño (por ejemplo, los errores de señalización en el análogo de Stokes), y parecía no querer leer más refritos (había visto más de uno de estos autores, que parecían no parar de cambiar el argumento). Este experto es uno de los que agradecen. No estaba claro si creía que toda su idea (en la medida en que la Intro lo explicaba) era capaz de funcionar. Desconozco su estado de presentación.