¿Qué significa el infinito como límite superior/inferior en una integral definida? Ej, $\int_0^\infty e^{-x} dx$

Question

Estaba encontrando $$\int_0^\infty e^{-x} dx$$ Así que la integral se convierte en $$\left.(-e)^{-x}\right\rvert_0^\infty$$

Ahora bien, esto es lo que me confunde. ¿Qué significa exactamente infinito en el límite superior/inferior?

¿Cómo puedo calcular realmente integrales definidas cuando uno de los límites es el infinito?

Answer 1

Ingenuamente, puedes hacer esto, y obtiene la respuesta correcta: $$\int_0^\infty e^{-x}dx = \left[-e^{-x}\right]_0^\infty=e^0-e^{-\infty}=1-0=1$$

Más formalmente, se puede definir $$\int_0^\infty e^{-x}dx \,\,\,\underset{\text{def}}{=}\,\,\,\lim_{t\to\infty} \int_0^t e^{-x}dx = \lim_{t\to\infty} \left[-e^{-x}\right]_0^t=\lim_{t\to\infty}(e^0-e^{-t})=1-\lim_{t\to\infty}e^{-t}=1$$

Answer 2

Este tipo de integral se llama "integral impropia". Siempre he supuesto que el término "impropia" se refiere al hecho de que una integral impropia no es realmente una integral, sino el límite de una: $$ \int_a^\infty f(x) \, dx := \lim_{n \to \infty} \int_a^n f(x) \, dx \, . $$ Así, $\int_{0}^{\infty}e^{-x}$ es una abreviatura de $\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n}e^{-x}$ de la misma manera que la "suma infinita $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $$ es en realidad una abreviatura de $$ \lim_{N \to \infty}\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} \, . $$ Y al igual que las series pueden ser convergentes o divergentes, lo mismo ocurre con las integrales impropias. El ejemplo que has dado es convergente: \begin{align} \int_{0}^{\infty}e^{-x} &= \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n}e^{-x} \\ &= \lim_{n \to \infty} \left[-e^{-x}\right]_{0}^{n} \\ &= \lim_{n \to \infty} (-e^{-n}+1) \\ &= 1 \, . \end{align} Otras integrales impropias no se comportan tan bien. Consideremos $$ \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x} \, dx \, . $$ Hay otra clase de integrales impropias que son un poco diferentes. Esto es cuando los límites de la integral son finitos, pero la función mismo no tiene límites. Prueba a calcular $$ \int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}} \, dx \, $$ utilizando el hecho de que $$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx := \lim_{n \to a^+} \int_{n}^{b} f(x) \, dx $$ si $f(x)$ es indefinido en $x=a$ .

---

Informalmente, la integral impropia $$ \int_{a}^{\infty} f(x) \, dx $$ representa el área bajo la curva entre $x=a$ y $x=\infty$ . Me siento un poco incómodo haciendo tal afirmación, ya que es difícil ver lo que significa "área" en el caso infinito. Sin embargo, esto nos da una gran imagen intuitiva de lo que son las integrales impropias, algo a lo que alude la respuesta de David G. Stork (+1). He aquí otro ejercicio. ¿Cómo definirías $$ \int_{-\infty}^{\infty} x \, dx \, ? $$ No hay una respuesta correcta a esta pregunta, ya que las definiciones no pueden ser "verdaderas" o "falsas", pero fíjate en que diferentes definiciones dan valores diferentes. Si estás interesado en la forma típica de definir una integral impropia, no dudes en preguntar.

Answer 3

Mira el área aquí, e imagina que se extiende hacia la derecha "para siempre":

Answer 4

Al igual que

$$\sum_{k=0}^\infty t_k$$ es una abreviatura de

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n t_k\ ,$$

$$\int_0^\infty f(x)\,dx$$ es la abreviatura de

$$\lim_{u\to\infty}\int_0^u f(x)\,dx.$$