Interpretación geométrica de la adición de matrices

Question

¿Existe un significado geométrico para la adición de matrices similar a la forma en que la multiplicación de matrices actúa como una transformación lineal? Tengo mucha curiosidad, gracias.

Answer 1

Hasta donde yo sé, no hay un significado geométrico claro para la adición de matrices, salvo en los casos específicos. Con esto me refiero a la adición de $n \times 1$ matrices reales (que son básicamente vectores columna). Esto tiene una interpretación geométrica estándar en $\mathbb{R}^3$ y $\mathbb{R}^2$ .

Ahora bien, has mencionado que "la multiplicación de matrices actúa como una transformación lineal". Eso, de hecho, no es muy buena redacción matemática, por lo que puedo ver

La idea es comenzar con mapas lineales entre espacios vectoriales. Hay una definición clara de lo que constituye un mapa lineal. Luego, se demuestra que cada mapa lineal tiene una matriz asociada que, cuando actúa sobre un vector del dominio del mapa lineal, hace exactamente lo mismo que el mapa lineal.

Así que, en cierto sentido, un mapa lineal es lo mismo que su matriz asociada y viceversa. Se puede hablar de uno hablando del otro y esto es muy útil en las pruebas sobre matrices.

La multiplicación de matrices es, entonces, sólo vista como la composición de mapas lineales. Del mismo modo, la suma de matrices se ve como la suma de dos mapas lineales. De hecho, se pueden demostrar muchas de las reglas del cálculo matricial mostrando que son consecuencias de la forma en que se combinan los mapas.

Por ejemplo, la composición de mapas lineales no es conmutativa. En consecuencia, la multiplicación de matrices no es conmutativa.

Hay una forma muy bonita de ver todo esto utilizando el lenguaje de los conjuntos y los mapas. Te animo a que investigues más sobre esto. Un buen texto que lo trata con mucho detalle es Linear Algebra de Klaus Janich.

Answer 2

Como se observa, cada matriz corresponde a una transformación lineal. Dada una matriz $A$ la transformación lineal que $A$ se define a través de la multiplicación matricial-vectorial. En particular, si $A$ tiene tamaño $m \times n$ entonces la transformación correspondiente $T:\Bbb R^n \to \Bbb R^m$ viene dada por $T_A(x) = Ax$ para los vectores $x \in \Bbb R^n$ .

Una vez establecido esto, podemos interpretar la suma y la multiplicación de dos matrices en términos de estas transformaciones lineales. En particular: si $A,B$ son $m \times n$ matrices, entonces la transformación $T_{A + B}$ correspondiente a la matriz $A + B$ se define de manera que $T_{A + B}(x) = T_A(x) + T_B(x)$ . Es decir, $T_{A+B} = T_A + T_B$ . Si $A$ es $p \times m$ y $B$ es $m \times n$ entonces la transformación $T_{AB}(x) = T_A(T_B(x))$ . Es decir, $T_{AB} = T_A \circ T_B$ .

Ya que nos centramos en la adición, he aquí un ejemplo: toma $$ A = \pmatrix{1&0\\0&0}, \quad B = \pmatrix{0&0\\0&1}, \quad A+B = I = \pmatrix{1&0\\0&1}. $$ Tenga en cuenta que $I$ es una matriz especial conocida como "matriz de identidad".

Las transformaciones correspondientes a $A$ y $B$ son los siguientes: $$ T_A(x) = \pmatrix{1&0\\0&0} \pmatrix{x_1\\x_2} = \pmatrix{x_1\\0}, \quad T_B(x) = \pmatrix{0&0\\0&1}\pmatrix{x_1\\x_2} = \pmatrix{0\\x_2}. $$ En otras palabras: $T_A$ es la proyección sobre el $x_1$ -eje y $T_B$ es la proyección sobre el $x_2$ -eje. Sumando estas dos transformaciones obtenemos la salida para $x$ añadiendo $T_A(x)$ y $T_B(x)$ . Es decir, deberíamos tener $$ T_{A+B}(x) = T_A(x) + T_B(x) = \pmatrix{x_1\\0} + \pmatrix{0\\x_2} = \pmatrix{x_1\\x_2}. $$ Es decir, añadir $T_A$ y $T_B$ resulta en una transformación que produce la misma entrada con la que empezamos. En efecto, esto coincide con la transformación correspondiente a $A+B$ . En particular, $$ T_{A+B}(x) = (A+B)x = \pmatrix{1&0\\0&1}\pmatrix{x_1\\x_2} = \pmatrix{x_1\\x_2}. $$