Encuentra un número entero N que satisfaga el límite de la secuencia: $\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^2 + n} - n$

Question

Calcule el límite y luego encuentre un número entero N que satisfaga el límite de la secuencia: $$\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n^2 + n} - n$$

Ahora me he dado cuenta de que el límite es $$\frac{1}{2}$$

pero tengo problemas para encontrar una N que satisfaga la definición de la secuencia dado que $\epsilon = 10^{-6}$

He llegado a una expresión: $$\left|(n^2+n)^{\frac{1}{2}} - n - \frac{1}{2}\right| < 10^{-6}$$

¿Cuál sería una buena manera de simplificar esto para resolver N de alguna manera?

Gracias por cualquier aportación.

Answer 1

$$\sqrt{n^2+n}-n=\frac n{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac1{\sqrt{1+\dfrac1n}+1}=\frac12-\epsilon,$$

entonces

$$n=\frac1{\left(\dfrac1{\dfrac12-\epsilon}-1\right)^2-1}=\frac{(1-2\epsilon)^2}{8\epsilon}<\frac1{8\epsilon}$$

et $$N\ge125000$$ funciona.

Answer 2

Tenemos $$\frac{1}{2}-\frac{1}{1+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}<10^{-6},$$ que da $$n>\frac{1}{\left(\frac{\frac{1}{2}+10^{-6}}{\frac{1}{2}-10^{-6}}\right)^2-1}=124999.5...$$