Objeto dualizador en la dualidad entre anillos conmutativos y esquemas afines

Question

Muchos dualidades entre geometría y álgebra surgen a través de un objeto de dualización . A grandes rasgos, si $\mathcal C$ es una categoría de espacios y $\mathcal D$ una categoría de "álgebras", a menudo se encuentra un objeto dualizador $R$ que vive en ambas categorías $\mathcal C$ y $\mathcal D$ de manera que las construcciones $C\mapsto \hom_\mathcal C(C,R)$ y $D\mapsto \hom_\mathcal D(D,R)$ constituyen una equivalencia o, al menos, una adjunción entre $\mathcal C$ y $\mathcal D$ .

Por ejemplo, la dualidad de Pontrjagin ( $R=\mathbb R/\mathbb Z$ ), la dualidad de la piedra ( $R=\mathbb Z/(2)$ ), la dualidad de Gelfand ( $R = \mathbb C$ ), y el teorema fundamental de la teoría de Galois ( $R=\bar k$ , para $k$ un campo) surgen de esta manera.

Pregunta: ¿Cuál es el objeto dualizador en la dualidad entre esquemas afines y anillos conmutativos?

(Segunda pregunta: ¿Cuál es el objeto dualizador en el teorema fundamental de los espacios de cobertura que establece, a grandes rasgos, que la categoría de espacios de cobertura sobre un espacio $X$ es equivalente a la categoría de todos los conjuntos dotados de una acción del grupúsculo fundamental sobre ese conjunto? Por un lado, no es una dualidad, así que tal vez no tenga un objeto dualizante en sentido estricto, pero como este enunciado es muy similar al teorema fundamental de la teoría de Galois, tal vez haya algo parecido).

Answer 1

Su pregunta presupone que existe un objeto dualizador. Mi opinión es que no existe. En el lado del esquema afín, la línea afín $\mathbb{A}^1$ tiene una estructura de anillo y representa el $\textbf{Aff}^\textrm{op} \to \textbf{CRing}$ la mitad de la equivalencia - esto no es problemático. Pero en la filosofía de la concepción del objeto dualizante de la dualidad, tendría que haber un anillo $R$ que "es" en algún sentido también $\mathbb{A}^1$ (¡de forma "covariante"!) que "representa" el $\textbf{CRing}^\textrm{op} \to \textbf{Aff}$ la mitad de la equivalencia y no veo ninguna forma razonable de interpretarlo con precisión.

La situación es mucho mejor si, en cambio, consideramos las variedades afines sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ y dominios integrales finitamente generados sobre $k$ . El objeto de dualización es entonces $\mathbb{A}^1_k$ como una variedad y $k$ como un álgebra. Esto es "obviamente correcto": como antes, $\mathbb{A}^1_k$ tiene una estructura de anillo, y además el conjunto de puntos de $\mathbb{A}^1_k$ se identifica canónicamente con el conjunto de elementos de $k$ Así que hay un buen sentido en el que podemos pensar en $\mathbb{A}^1_k$ y $k$ como "lo mismo". Además, $k$ representa de hecho el functor que envía un dominio integral finitamente generado sobre $k$ al conjunto de puntos de la variedad afín a la que corresponde.

Teniendo en cuenta lo anterior, parece que la encarnación del anillo de $\mathbb{A}^1$ debe ser $\mathbb{Z}$ - pero, francamente, esto es poco convincente. Si bien es cierto que podemos identificar canónicamente los elementos de $\mathbb{Z}$ con ciertos puntos de $\mathbb{A}^1$ y hay muchos más puntos además. También es difícil decir que el functor representado por $\mathbb{Z}$ es un functor que envía un anillo al conjunto de puntos del esquema al que corresponde - al menos, ciertamente no representa el functor que envía un anillo $A$ al conjunto de ideales primos de $A$ . Por estas (y otras) razones, creo que no es razonable decir que hay un objeto dualizador en esta historia.

Answer 2

De los esquemas afines al anillo el functor se representa por la línea afín $\mathbb A^1=\mathrm{Spec}\mathbb Z[x]$ equipado con una estructura de objeto anular. En el sentido inverso, no está claro a qué te refieres, ya que no hay un functor obvio de esquemas afines a conjuntos, y por lo tanto no está claro qué functor tendría que representar el objeto dualizador.