Sabiendo que la aceleración de cualquier cuerpo hacia el centro de un astro debido a la fuerza de gravedad es proprcional a $$x^{-2} $$ donde x es la distancia del cuerpo al centro de la estrella, es decir $$ x''= \frac k {x^2} $$ donde k es una constante positiva. Sabiendo que la velocidad orbital es constante V a la distancia R del centro de la estrella, ¿cómo se obtiene la 3ª ley de Kepler donde $$k = {4\pi R^3\over T^2} $$
Respuesta
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La solución más matemática,
Dejemos que $\vec x $ sea el vector de posición bidimensional de la masa $M$ al (centro del) satélite de masa $m$ . Entonces,
$$\vec F=-m\frac{k}{r^2} \frac{\vec{x}}{||\vec x||}=-m\frac{k}{r^3} \vec x$$
(Signo negativo porque la fuerza es hacia adentro, hacia el objeto de masa $M$ )
Al mismo tiempo $\vec F=m \frac{d^2}{dt^2}(\vec x)$ por lo tanto,
$$m \frac{d^2}{dt^2} \vec x=-m\frac{k}{r^3} \vec x$$
Ahora bien, si sólo miramos una coordenada del vector $x$ , resolviendo la oda de segundo orden:
$$x''=-\frac{k}{r^3}x$$
Da soluciones reales de la forma
$$x=A\sin(t\sqrt{\frac{k}{r^3}}+\theta_1)$$
O,
$$x=B\cos(t\sqrt{\frac{k}{r^3}}+\theta_2)$$
Obsérvese que estas soluciones tienen un periodo de $\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{r^3}}}$ Así que..,
$$T=\frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{r^3}}}$$
$$T^2=\frac{4 \pi^2 r^3}{k}$$
Por lo tanto,
$$k=\frac{4\pi^2r^3}{T^2}$$
La ley de Keplers describe un cuerpo de masa $m$ en órbita con radio $r$ alrededor de un cuerpo de masa $M$ En efecto, lo hemos hecho,
$$F=ma=\frac{GMm}{r^2}$$
Esta es la fuerza que mantiene al cuerpo en órbita, es decir, es la que proporciona la fuerza centrípeta de $m\frac{v^2}{r}$ . Donde $v$ es la velocidad a la que viaja el cuerpo.
Por lo tanto,
$$F=m\frac{v^2}{r}=\frac{GMm}{r^2}$$
Esto da,
$$v^2=\frac{GM}{r}$$
Pero al mismo tiempo $v=\frac{2\pi r}{T}$ Así que..,
$$\frac{4\pi^2 r^2}{T^2}=\frac{GM}{r}$$
Dando,
$$k=GM=\frac{4\pi^2 r^3}{T^2}$$
