Tricotomías en matemáticas

Question

Añadido. ¡Gracias a todos los que han participado! Permítanme pedir humildemente disculpas a los que se han sentido molestos (comprensiblemente) por este hilo, considerándolo nada más que un ejercicio de inutilidad. Si pensaron que la pregunta, de ser legítima, debería haberse restringido a las manifestaciones interesantes de una subdivisión hiperbólica-parabólica-elíptica, entonces puedo estar totalmente de acuerdo (aunque parte de la idea era interpretar la pregunta como se considere oportuno); la dejé con un final abierto principalmente por la tricotomía de Weil, que es de un tipo completamente diferente y es mucho más que una jerarquía, y en relación con la cual estaba interesado en escuchar las opiniones y elaboraciones de otras personas. Véase, por ejemplo, cómo Edward Frenkel, en una fascinante charla sobre Bourbaki, se basa en la tricotomía de Weil para introducir un paralelismo entre Langlands y las dualidades electromagnéticas, que utiliza como trampolín para las ideas de la física que han entrado en el ámbito del programa geométrico de Langlands. O tomemos el apreciado paralelismo entre los objetos básicos tridimensionales (desde el punto de vista de la cohomología etale) y sus coberturas ramificadas: $\mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^1$ , $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ y $S^3$ con los primos en los campos numéricos correspondientes a los nudos en los tres pliegues, $\log{p}$ correspondiente a la longitud hiperbólica, etcétera.

A los que no estaban convencidos de que existiera una tricotomía ordenada de las superficies algebraicas (argumentando que deberían formar, en cambio, una tetracotomía por la dimensión de Kodaira), y mucho menos en la geometría algebraica de dimensión superior, les remito a la respuesta de Sándor Kovács aquí, que demuestra de forma bastante elocuente la tricotomía fundamental de la geometría birracional:

¿Cómo de "frecuentes" son las variedades proyectivas lisas con haz canónico (anti) amplio?

Puesto original. Para muchos propósitos, especialmente en las jerarquías de clasificación o en la "gran imagen" de Weil de la unidad fundamental en las matemáticas, parece como si la realidad matemática fuera captada con más precisión por las tricotomías que por los diccionarios de dos caras o las cuestiones de "o". La más básica es, por supuesto, la tricotomía negativo - cero - positivo encarnado por el campo ordenado completo $(\mathbb{R},<)$ --- esto es la Flecha del Tiempo, si se quiere, o el condicionamiento de un sistema dinámico en estados de pasado/presente/futuro. Como demuestran algunos de los ejemplos siguientes, esta tricotomía subyace en variados, aunque toscos, esquemas de clasificación en matemáticas.

Otras tricotomías surgen de exámenes más detallados de un paralelo matemático. A los matemáticos siempre les ha gustado descubrir por analogía; se toman muy en serio las intuiciones que les proporcionan campos diferentes pero poco conectados. Al hacerlo, se guían por una creencia tácita y platónica en la Unidad fundamental de las matemáticas. Un ejemplo es la similitud entre las geometrías finitas y las superficies de Riemann. Para explicar este paralelismo, e incluso para darle sentido, es necesario proporcionar una "columna central" en el diccionario: la geometría aritmética de los campos numéricos y las superficies aritméticas. Esto conduce a la tricotomía que Weil explicó tan lúcidamente en una carta (que escribió en 1940 en la cárcel por su negativa a servir en el ejército) a su hermana, la filósofa Simone Weil. Este punto de vista condujo, como sabemos, a todo un nuevo campo de investigación matemática.

A continuación he enumerado algunas otras tricotomías matemáticas apreciadas. Me interesa ver otras más, quizás más especializadas. Este es mi pregunta : añadir más tricotomías a la lista . Además, me interesan las reflexiones que cualquiera pueda hacer, como las relativas, por ejemplo, a alguna de las siguientes cuestiones. ¿Es el 3 el número más omnipresente en los esquemas de clasificación gruesa? ¿Es justo decir que una determinada tricotomía se hace eco de la tricotomía primigenia $(-,0,+)$ ? En una tricotomía dada, ¿existe una "columna central" natural de un diccionario tripartito correspondiente? ¿Es esta "columna del medio" de alguna manera la más fundamental, la más interesante o la más esquiva?

Tricotomías en matemáticas: algunos ejemplos.

• El tejido de la topología, la geometría y el análisis es la línea real $\mathbb{R}$ . Los ocho axiomas de Tarski lo caracterizan en términos de un orden total binario completo <, una operación binaria + y una constante 1. (La multiplicación viene después -está implícita en los axiomas de Tarski- y también la definición de Bourbaki de los reales como el campo ordenado completo). Las tricotomías de signos $(<,=,>)$ y $(-,0,+)$ que se derivan de esos axiomas tienen repercusiones en toda la matemática.

• Por ejemplo, existen tres espacios de curvatura constante, que dan lugar a las tres geometrías de máxima simetría: hiperbólica, plana (o euclidiana) y elíptica (por ejemplo, las formas esféricas).

• Los espacios localmente simétricos se dividen en tres tipos: de tipo no compacto, plano y compacto.

• En el análisis complejo, hay tres paños simplemente conectados: las superficies de Riemann $\Delta$ , $\mathbb{C}$ y $\hat{\mathbb{C}}$ .

• La componente conexa del grupo de automorfismos conformes de una superficie compacta de Riemann es una de las tres siguientes: trivial , $S^1 \times S^1$ , $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{C})$ .

• La complejidad de los grupos fundamentales, puesta de manifiesto en primer lugar por las superficies topológicas: genuinamente no abeliano (quizás podríamos decir: anabeliano) - abeliana (o más generalmente, que contenga un subgrupo nilpotente de índice finito) - y trivial (o más generalmente, finito) . Esto está relacionado, por supuesto, con el tema del crecimiento de los grupos generados finitamente, planteado por la respuesta de Lee Mosher.

• En dinámica, un punto fijo (o un ciclo periódico) puede ser repelente, indiferente o atrayente.

• En el trabajo de Thurston sobre homeomorfismos de superficie, los elementos del grupo de clases de mapeo se clasifican según la dinámica en tres tipos: pseudo-Anosov, reducible y de orden finito.

• En geometría algebraica, la positividad del haz canónico es fundamental para los problemas de clasificación y modelo mínimo. En general, la positividad es una característica destacada de la geometría algebraica. Para una deliciosa discusión, véase la reseña de Kollar del libro de Lazarsfeld "Positivity in algebraic geometry". (Bull. AMS, vol. 43, nº 2, pp. 279-284). El ejemplo más básico es la tricotomía de las curvas algebraicas (racionales, elípticas, de tipo general).

• En la geometría algebraica birracional, en un muy A nivel grueso, hay tres tipos de variedades de las que se compone una variedad general: las curvas racionales, los colectores de Calabi-Yau y las variedades de tipo general (o de tipo hiperbólico, si se prefiere). Por ejemplo, una superficie algebraica 1) admite un lápiz de curvas racionales; o 2) admite un lápiz de curvas elípticas o es abeliana o K3 (o un doble cociente de una K3); o bien 3) es de tipo general. Abeliano y K3 son ejemplos de variedades de Calabi-Yau.

• Más concretamente, consideremos las hipersuperficies lisas $X \subset \mathbb{P}^n$ . Se dividen en tres tipos, según su grado $d$ se compara con la dimensión. Si $d \leq n$ contienen muchas curvas racionales (ciertamente incontables). Si $d = n+1$ son un ejemplo de colector de Calabi-Yau, y normalmente contienen un número contablemente infinito de curvas racionales. (La función generadora del número de curvas racionales de un grado dado es entonces una función muy interesante, de importancia en la física de la gravedad cuántica). Y si $d \geq n+2$ entonces $X$ es de tipo general, y se conjetura que normalmente contienen sólo un número finito de curvas racionales. (Más concretamente, Bombieri y Lang han conjeturado que una variedad de tipo general sólo contiene un número finito de subvariedades maximales que no son de tipo general).

• En la geometría diofántica, se supone que los puntos racionales proceden de curvas racionales y variedades abelianas. Se cree que los ejemplos esporádicos son finitamente numerosos. Esto conduce a la siguiente tricotomía para la tasa de crecimiento del número de puntos racionales de altura acotada (grande, es decir, exponencial): crecimiento polinómico - crecimiento logarítmico - $O(1)$ . Además, incluso en dimensión 1, es para las variedades abelianas donde la situación es más profunda y misteriosa.

• En topología, parece que las dimensiones interesantes se sitúan en tres rangos cualitativamente diferentes: $d = 3$ , $d = 4$ y $d \geq 5$ . (Aunque esto podría ser estirar demasiado). De ellas, las cuatro dimensiones -la "columna central"- son las más misteriosas, y también las más relevantes para la física.

• La "tricotomía de Weil", por supuesto, se remonta al menos a Kronecker y Dedekind: curvas sobre $\mathbb{F}_q$ - campos numéricos - Superficies de Riemann . La teoría de los campos de clase y la teoría de Iwasawa son ejemplos particularmente elocuentes de esta tricotomía. Otro ejemplo es, por supuesto, la función zeta y la hipótesis de Riemann.

• Uno estaría tentado de extender esta última tricotomía a [ mundo no arquimédico ( $p$ -ádica, profinita) - aritmética global - mundo arquimediano (geometría, topología, variables complejas) ], si la columna del medio no subsume (en gran parte) las columnas flanqueantes. Asimismo, la triple [ $l$ -cohomología-motivo-estructura de Hodge Probablemente no sea admisible. He aquí una variante del tema (puede que te parezca una basura, en cuyo caso tírala). Hay dos formas de completar (o tomar los límites de) los polígonos regulares $C_n$ . La primera es pensar en $C_n$ como $\frac{1}{n}\mathbb{Z}/\mathbb{Z}$ y tomar el límite directo (en este caso, unión, o síntesis : $\rightarrow$ ), que es $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ . Completando, obtenemos el círculo $S^1 = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ que es el colector más simple. La segunda es pensar en $C_n$ como $\mathbb{Z}/n$ y tomar el límite proyectivo (o deconstrucción : $\leftarrow$ ), que es $\hat{\mathbb{Z}} = \prod_p \mathbb{Z}_p$ la versión profinita del círculo. De este modo, los objetos arquimedianos (continuos) y $p$ -Los objetos de la naturaleza pueden ser vistos como los dos posibles límites diferentes (síntesis y deconstrucción) de lo mismo objetos finitos. Tomando $C_n$ para ser grupos finitos más generales, obtenemos esencialmente todos los grupos de Lie, por un lado; y todos los grupos profinitos, por otro.

• El hecho de que vivamos en tres dimensiones espaciales perceptibles no se ajusta, por supuesto, a nuestro proyecto. Pero en 1984, Manin publicó un artículo ("Nuevas dimensiones en la geometría") en el que, guiado por ideas de la teoría de los números (geometría de Arakelov) y de la física (supersimetría), proponía que hay tres tipos de dimensiones geométricas, modeladas en el superesquema afín $\mathrm{Spec} \mathbb{Z}[x_i;\xi_j]$ un "objeto de la categoría de espacios topológicos localmente anillados por una gavilla de $\mathbb{Z}/2$ -anillos supercomutativos graduados". Aquí, $\xi_j$ son variables "Impares", anticonmutantes, que conmutan con las variables "pares" $x_i$ . Ver los tres ejes de coordenadas $x, \xi$ y $\mathrm{Spec} \mathbb{Z}$ en su imagen de "tres-espacios-2000". El eje aritmético $\mathrm{Spec} \mathbb{Z}$ está implícita en la geometría algebraica compleja, y es esencial en problemas como el teorema de Ax-Grothendieck y la construcción de curvas racionales en las variedades de Fano.

• En la teoría de los grupos lineales existe, a grandes rasgos, una tricotomía: $\mathbb{G}_m$ (tori lineal) - semisimple - $\mathbb{G}_a$ (unipotente) .

• Grupos algebraicos: reductor - variedad abeliana - unipotente . Especialmente, la clasificación de grupos unidimensionales: $\mathbb{G}_m$ - $E$ - $\mathbb{G}_a$ . ( ¡Gracias, Terry Tao! )

• Variante: entre conmutativo grupos algebraicos, hay: tipo multiplicativo - variedades abelianas - tipo aditivo (unipotente) .

• $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ , $\mathbb{H}$ son las únicas álgebras de división asociativa de dimensión finita sobre el continuo. ( ¡Gracias Paul Reynolds, Teo B, y Sam Lewallen! )

• Las EDP más básicas de la física: la ecuación de onda ( hiperbólica ) - las ecuaciones del calor y de Schrodinger ( parabólica ) - la ecuación de Laplace ( elíptica ). ( ¡Gracias Alexandre Eremenko! )

• Un grupo infinito finitamente generado tiene $1,2$ o $\infty$ termina. ( ¡Gracias shane.orourke y Artie Prendergast-Smith! )

• Un paseo aleatorio es transitorio, recurrente nulo o recurrente positivo. ( ¡Gracias Vaughn Climenhaga! )

• Las funciones zeta pueden ser dinámicas (Artin-Mazur); aritméticas en esquemas de tipo finito sobre $\mathbb{Z}$ (Riemann y Hasse-Weil); y geométrica (función zeta de Selberg de una superficie hiperbólica).

• En la teoría de modelos, existe una importante tricotomía entre teorías superestables, teorías estrictamente estables (estables pero no superestables) y teorías no estables.

• Parece justo decir que hay tres tipos de conexión tridimensional simple espacios : $\mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^1$ , $\mathbb{Spec}(\mathbb{Z})$ compactado en el infinito arquimédico, y $S^3$ . Esto da lugar al diccionario de nudos de Mazur y a la fructífera analogía entre los primos y los nudos (especialmente los nudos hiperbólicos).

Answer 1

En efecto, casi todo en matemáticas puede ser "hiperbólico", "parabólico" o "elíptico". Como las EDP, las superficies de Riemann o los colectores de dimensión superior, las transformaciones lineales fraccionarias, los puntos fijos de un mapa, etc.

Sin mencionar los 3 tipos de secciones cónicas:-)

Por supuesto, esto puede remontarse a la tricotomía fundamental "positivo", "cero" y "negativo".

En la geometría diferencial tenemos tres grandes áreas: "curvatura positiva", "curvatura negativa" y "curvatura cero".

Véase también:

Strichartz, Robert S. Reinos de la matemática: elíptica, hiperbólica, parabólica, subelíptica. Math. Intelligencer 9 (1987), no. 3, 56-64.

Answer 2

Cada conjunto de un espacio topológico divide el espacio en tres partes: interior, límite y exterior.

Answer 3

Finito, contable e incontable.

Esas son las tres distinciones que tenemos para los cardenales. Para la mayoría de la gente, incontable suele significar $2^{\aleph_0}$ . Pero incluso para los teóricos de conjuntos, dado un modelo de ZFC, los conjuntos finitos son finitos, los conjuntos contables son contables, y el resto es una locura $^*$ .

Sustitución de la cardinalidad por las propiedades de la teoría de la medida topológica de los subconjuntos de un ordinal $\kappa$ En la actualidad, hay conjuntos no estacionarios (pequeños); conjuntos estacionarios (grandes, pero no demasiado grandes); y clubes (que es prácticamente todo).

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$^*$ Buena ¡Una locura! Como una sonrisa sin gato.

Answer 4

Hay exactamente tres álgebras de división asociativa de dimensión finita sobre $\mathbb R$ : $$\mathbb R, ~~ \mathbb C,~~\mathbb H$$

Esto también se mencionó en la respuesta de Paul Reynolds.

Arnol'd pensaba que esta era una tricotomía especialmente fundamental, y tiene una fascinante tabla de tricotomías "relacionadas" en su libro "Arnol'd's Problems" (perdón por la catástrofe del apóstrofe). Aquí hay una imagen que subí hace unos años:

La mesa de Arnol'd

Me pregunto si estos triples son de la misma "familia" que $(-1 ,0 , 1)$ . Al principio parecen ser diferentes porque no hay ningún elemento distinguido, análogo a $0$ - pero quizás $\mathbb C$ desempeña este papel? Creo que la prueba de que hay tres álgebras de división podría utilizar la $(-1,0,1)$ tricotomía, pero no tengo un momento para pensar en ello en este momento - tal vez alguien puede dejar un comentario confirmando esto? ( Editar : También podría imaginar $\mathbb R$ desempeñando el papel de $0$ (porque es el elemento de identidad del producto tensorial, por ejemplo - ¿alguna opinión al respecto?)

Otra cuestión que me parece interesante, sobre la que esperaba reflexionar en algún momento por diversión, se refiere no sólo a las apariciones (relacionadas) de conjuntos de 3 elementos en las clasificaciones matemáticas, sino más generalmente, a las apariciones relacionadas de $n$ -conjuntos de elementos para pequeños $n$ . Siempre había soñado con tomar el número $5$ de los sólidos platónicos regulares, por ejemplo, e intentar deducir a partir de ella el mayor número posible de "clasificaciones de números pequeños y finitos".

Answer 5

Todo sistema de ecuaciones lineales sobre los reales dice que no tiene solución, o tiene una solución, o tiene infinitas soluciones.