Recomendaciones de libros de texto de geometría algebraica (para estudiantes)

Question

¿Cuáles son los mejores libros de texto de geometría algebraica para estudiantes universitarios?

Answer 1

(respuesta trasladada de pregunta duplicada cerrada )

Si estás interesado en aprender Geometría Algebraica te recomiendo los libros de mis listas de Amazon . La mayoría de ellos, al principio de las listas, son de dificultad creciente y se recomienda aprender desde el principio por uno mismo.

En particular, a partir de esas listas, un camino rápido para entender la Geometría Algebraica básica sería leer Bertrametti et al. "Conferencias sobre curvas, superficies y variedades proyectivas" , Shafarevich 's "Geometría algebraica básica" vol. 1, 2 y Perrin 's "Geometría algebraica una introducción" y la nueva y hermosa Holme 's " Un camino real hacia la geometría algebraica " . Pero entonces se entra en el mundo del álgebra abstracta. Para ello es aconsejable dominar el libro de Miles Reid "Álgebra conmutativa de grado" acompañada de la nueva Singh 's "Álgebra Conmutativa Básica" . Ambos son muy legibles y completos a su nivel, el primero una introducción orientada a la geometría y el segundo una referencia puramente formal.

Mi opinión personal es evitar como texto principal, libros como Harris - " Geometría algebraica: Un primer curso " o Cox y otros ., sobre todo si tienes poco tiempo para aprender. En mi experiencia, este tipo de libros no le llevarán muy lejos dentro de la geometría algebraica por sí mismos, aunque son buenos compañeros como fuentes de ejemplos y cálculos. En particular, el de Harris es un muy buen compañero de los otros como un suplemento más "literario".

Centrándonos sólo en el nivel universitario, los mejores libros por orden de sofisticación son: Smith et al. "Una invitación a la geometría algebraica" , Reid "Geometría algebraica de grado" , Hulek "Geometría algebraica elemental" , Beltrametti et al. "Conferencias sobre curvas, superficies y variedades proyectivas ".

Hay varios cursos gratuitos en pdf. Concretamente, el notas introductorias por Dolgachev "Introducción a la geometría algebraica" (junto con su "Topics on Classical Algebraic Geometry" que se publicará próximamente) son muy algebraicos y pueden leerse sin problemas después o junto con un libro como Hulek 's "Geometría algebraica elemental" . Para las introducciones que cubren muy bien lo básico hasta los esquemas pares y la cohomología, los mejores son, con mucho, los notas por Gathmann 's "Geometría algebraica" y Holme 's " Un camino real hacia la geometría algebraica ". Un bonito curso introductorio centrado en las curvas algebraicas es Fulton 's "Curvas algebraicas - Una introducción a la geometría algebraica" .

Cuando uno se sumerge en el nivel de posgrado, es muy importante recordar que la Geometría Algebraica es un tema enorme y que hay diferentes enfoques para empezar. En mi opinión, la palabra "geometría" es fundamental y fundacional, por lo que la gente no debe olvidar que al final debe haber algún contenido geométrico o análogo. Por ello, el libro biblia de Hartshorne "Geometría algebraica" DEBE estudiarse sólo después de dominar los fundamentos como Beltrametti et al., Shafarevich y Perrin y sobre todo Mumford 's "Geometría algebraica: Variedades proyectivas complejas" que es una obra maestra (puede seguir esquemas por Mumford con el notas inéditas aquí ). Para complementar el de Hartshorne con otro punto de vista esquemático, los mejores libros son Mumford 's "El libro rojo de variedades y esquemas" y los tres volúmenes de Ueno "Geometría algebraica I. De las variedades algebraicas a los esquemas" , "Geometría Algebraica II. Coladas y cohomología" , "Geometría algebraica III. Teoría adicional de los esquemas" . SÓLO después de todo este material se puede entender la geometría detrás de los libros extremadamente algebraicos pero también buenos e interesantes como Liu Qing - " Geometría algebraica y curvas aritméticas "(otra aproximación a la Geometría Aritmética podría ser Lorenzini - " Una invitación a la geometría aritmética ", y Hindry/Silverman "Geometría Diofantina" que comienza con un repaso a la geometría algebraica y demuestra los teoremas de Mordell y Faltings, entre otros, sin el uso de esquemas).

Mi camino personal de aprendizaje es este: Beltrametti et al.'s para los fundamentos geométricos clásicos y básicos, Perrin's para una introducción más algebraica con un buen tratamiento de Riemann-Roch, Mumford's "projective varieties" para los fundamentos junto con un sabor en la geometría algebraica compleja, luego notas de estudio de Gathmann. Después de esto, empezaría a acercarme al libro rojo de Mumford y a Ueno para complementar a Hartshorne sobre esquemas. Con todo este bagaje dominar Hartshorne no debería ser un problema, PERO debes HACER todos los ejercicios que puedas ya que son lo más importante de Hartshorne. Otras fuentes al respecto es el nuevo libro de Görtz/Wedhorn "Geometría algebraica I, esquemas con ejemplos y ejercicios" y su futuro volumen dos. Si se necesita un enfoque diferente que incluya parte de la teoría de gavillas y la homología necesarias junto con las superficies de Riemann, existe Harder 's "Lectures on Algebraic Geometry vol. 1 & 2" .

Se pueden encontrar más referencias sobre curvas algebraicas, superficies, variedades de dimensión superior y otros temas en mis listas de Amazon.

Para los interesados en la vertiente de la Geometría Compleja (Kähler, Hodge...) recomiendo Moroianu 's "Conferencias sobre la geometría de Kähler" , Ballmann 's "Conferencias sobre las Múltiples de Kähler" y Huybrechts ' "Geometría compleja" sobre todo. Para conectar esto con el Análisis de Varias Variables Complejas recomiendo probar Fritzsche/Grauert "De las funciones holomórficas a las variedades complejas" y también Wells ' "Análisis diferencial en variedades complejas" . O, para conectar esto con la geometría algebraica, prueba, en este orden, Miranda 's "Curvas algebraicas y superficies de Riemann" o la nueva y excelente introducción de Arapura - " Geometría algebraica sobre los números complejos ", Voisin 's "Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja" vol. 1 y Griffiths/Harris "Principios de geometría algebraica" .

Answer 2

Desde hoy (cuando lo recibí) creo que el nuevo libro Introducción a la geometría algebraica es el mejor libro de texto para estudiantes en el mercado.
El libro tiene una presentación muy motivada de los conceptos, muchos ejemplos excelentes y muchos ejercicios, la mitad de ellos resueltos al final (una característica única en este nivel).
Este grueso volumen, de más de 600 páginas, parte de subconjuntos algebraicos elementales de $\mathbb A^n$ y pasa a esquemas y variedades proyectivas.
Otra característica única es que el libro contiene en sus cuatro apéndices tous los requisitos previos necesarios, incluyendo 149 páginas de álgebra conmutativa.
Como guinda del pastel, el volumen es baratísimo: 25 dólares en Estados Unidos (y 21,10 euros en Francia, donde lo compré).
Además, nuestro amigo @Justin Smith nos permite descargarlo gratuitamente desde su sitio, incluso después de la publicación de su libro (véase el enlace anterior): gracias por tu generosidad, Justin, y por haber escrito un libro tan bueno .

Answer 3

Ver la pregunta de MathOverflow sobre esto exactamente: ¿El mejor libro de texto de Geometría Algebraica?

Personalmente, por lo poco que he visto, Ideales, variedades y algoritmos de Cox, Litle y O'Shea es un libro muy bueno para los estudiantes universitarios. Requiere pocos conocimientos previos y tiene una perspectiva computacional que es especialmente buena para quienes tienen intereses concretos o computacionales. No sé hasta qué punto es bueno como preparación para un estudio más "serio" de la geometría algebraica, pero ciertamente es atractivo.

Answer 4

Cox, Little y O'Shea es un libro excelente. También me gustaría recomendar el libro de Miles Reid Geometría algebraica de grado que, a diferencia de Hartshorne o de muchas otras referencias estándar, fue escrito específicamente pensando en los estudiantes universitarios. También deberías consultar su libro sobre álgebra conmutativa; ambos me resultaron muy instructivos.

Answer 5

Todo el mundo está enlazando a esa pregunta de MO, así que permíteme enlazar a otro MO pregunta que es más relevante para esta solicitud específica.

Además, debo mencionar que depende en parte de lo que se busque. ¿Debe ser para estudiar por su cuenta con poca ayuda de los profesores? Entonces su mejor opción sería seguir el programa de Ravi Vakil curso del próximo semestre o usar sus viejas notas aquí .

Si tienes la intención de que un profesor vea el autoestudio, creo que los libros de Ueno: Alg Geom 1 y 2 (Debo mencionar que su nivel inferior libro no es tan bueno y NO lo recomiendo). Otro fuerte candidato para el autoestudio dirigido sería La bonita introducción de Harris .

Si vas a ofrecer un curso o hacer un curso, creo que el amigo de todos estaría bien que se aumentara con esta obra maestra sería un buen curso, pero probablemente demasiado exigente para la licenciatura.

Creo que eso cubre lo básico :D

EDIT: Dos comentarios más, este El libro es frustrante y no creo que sea apropiado para los estudiantes de grado que tratan de aprender geometría algebraica, especialmente si se están moviendo a la teoría de esquemas modernos. Y otro libro con una sensación muy diferente, pero una forma realmente divertida de empezar a pensar en la geometría algebraica es el de Katz Libro de Geometría Enumerativa . Fue escrito especialmente para los estudiantes de grado, y cubre algunos materiales realmente buenos que pueden dar una buena motivación para pensar en la geometría algebraica y la topología.