Cómo encontrar todas las x posibles con un intervalo de $[0, 2 \pi/7]$ cuando se da la ecuación de $2 \sin(7x)-1=0$ ?

Question

Así que, como dice el título, tengo problemas para encontrar los posibles valores de x en la siguiente ecuación con un intervalo fijado en [0, 2pi/7]:

2sin(7x)-1=0

Soy estudiante de primer año de la universidad y esto no se explicó durante la clase y durante el grupo de estudio, la asistente sólo lo repasó brevemente durante unos 10 minutos sin explicar realmente lo que estaba escribiendo en la pizarra. Otros estudiantes que sí lo entendieron dijeron que se salía del tema y que su método era extremadamente avanzado, lo que explica que yo estuviera completamente perdido.

Si alguien pudiera ayudar, se lo agradecería mucho.

Answer 1

Empieza con un gráfico, para que te hagas una idea:

Answer 2

Con el valor $\frac12$ del seno debería asociar casi automáticamente el ángulo $\frac\pi6$ y por reflexión en el eje vertical también $\pi-\frac\pi6=\frac{5\pi}6$ (como $\frac{\sqrt{k}}2$ , $k=0,1,2,3,4$ son los senos de $0,\frac\pi6,\frac\pi4,\frac\pi3,\frac\pi2$ ).

Estos ángulos y sus equivalentes por completo $2\pi$ las rotaciones ahora tienen que ser iguales a $7x$ , $$ 7x=\frac\pi6+2k\pi\text{ or }7x=\frac{5\pi}6+2k\pi. $$

Answer 3

Su ecuación equivale a $\sin 7x=1/2=\sin(π/6),$ o $$\sin 7x-\sin(π/6)=0.$$ Cambia el LHS por un producto utilizando $\sin a-\sin b=2\cos(a+b)/2\cos(a-b)/2.$ Entonces tienes $$2\cos(42x+π)/12\cos(42x-π)/12=0.$$ Así, tenemos que $\cos(42x+π)/12=0,$ o $\cos(42x-π)/12=0.$ Haré sólo la primera y dejaré la segunda para ti ya que son similares. La primera implica $$\frac{42x+π}{12}=\frac{(2k-1)π}{2},$$ donde $k$ es un número entero cualquiera. Así, $$x=\frac{12πk-7π}{42}.$$ Pero queremos $x$ para estar en el intervalo $[0,3π/7].$ Por lo tanto, debemos encontrar todos $k$ para que $$0\le \frac{12πk-7π}{42}\le 3π/7.$$ Esto se simplifica a $0\le 12k\le 25.$ Así, tenemos $k=0,1,2.$ Así, tres soluciones son $$x=\frac{12πk-7π}{42},$$ con $k=0,1,2.$ Para encontrar las otras, resuelve la segunda ecuación anterior de forma similar.