I) En esta respuesta sólo hablaremos de la forma de equilibrio. Recuerda que cuando hablamos de la forma de la Tierra en este En el post de Phys.SE, el momento cuadrupolar gravitacional era importante. A diferencia de la Tierra, desde la perspectiva de la superficie, es una muy buena aproximación suponer que toda la masa del Sol se asienta en el centro, cf. gráfico inferior.
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Además, el Teorema de la cáscara de Newton ayuda aquí. Llegamos a la conclusión de que basta con considerar el campo gravitatorio monopolar
$$\tag{1} g(r)~=~\frac{GM}{r^2}$$
del Sol. De la Wikipedia, obtenemos que
$$\tag{2} G~=~ 6.674\cdot 10^{−11} {\rm Nm}^2/{\rm kg}^2\quad\text{and}\quad M~=~(1.98855 \pm 0.00025)\cdot 10^{30} {\rm kg}. $$ El radio y el periodo ecuatorial son $$\tag{3} r_e~=~(696342\pm 65)~{\rm km} \quad\text{and}\quad T_e~=~25.05 ~{\rm days}, $$
respectivamente. La velocidad ecuatorial es
$$\tag{4} v_e~=~\omega_e r_e~=~\frac{2\pi r_e}{T_e}~\approx~2.02 ~{\rm km/s}.$$
La gravedad superficial ecuatorial es entonces
$$\tag{5} g_e~=~\frac{GM}{r_e^2}~\approx~274~{\rm m/s^2}. $$
Repitiendo las palabras de Mark Eichenlaub argumento del monopolo para el Sol, la diferencia de altura entre el radio ecuatorial y el polar se convierte en
$$\tag{6} h~:=~r_e-r_p~=~\frac{v_e^2}{2g_e}~\approx~7.5 ~{\rm km}, $$
que lleva a un aplanamiento
$$\tag{7} f~=~\frac{h}{r_e}~\approx~ 11 \cdot 10^{-6} .$$
Esta estimación sobrepasa en un 20% el aplanamiento real observado, que es sólo $9 \cdot 10^{-6}$ .
II) En el resto de esta respuesta, nos gustaría argumentar que la diferencia del 20% en la ecuación (7) se debe principalmente al hecho de que el Sol no gira como un cuerpo rígido, lo que asumimos implícitamente en la sección I. El período polar
$$\tag{8} T_p~=~34.4 ~{\rm days} $$
es más lento que el período ecuatorial (3). Para continuar, supongamos por simplicidad que el cuadrado $T^2$ del periodo $T$ depende del ángulo polar $\theta$ de la siguiente manera $^1$
$$\tag{9} T^2~=~T_p^2 + s (T_e^2-T_p^2) , \qquad s~\equiv~\sin^2\theta,\qquad \omega~\equiv~ \frac{2\pi}{T}. $$
Análogamente, defina para su conveniencia posterior la cantidad
$$\tag{10} A~:=~\frac{GM}{\omega^2}~=~ A_p + s A^{\prime}, \qquad A^{\prime}~:=~A_e-A_p~<~0, $$
que es proporcional a $T^2$ . La aceleración centrífuga es $$\tag{11} a_{\rm cf}~=~\omega^2 r\sin\theta.$$
Usando argumentos similares a mi respuesta de Phys.SE aquí la fuerza total debe ser perpendicular a la superficie
$$\tag{12} \left(g -a_{\rm cf} \sin \theta \right)\mathrm{d}r -a_{\rm cf} \cos \theta ~r\mathrm{d}\theta~=~0.$$
La diferencial (12) es inexacto . Después de multiplicar con un factor integrador, tenemos tenemos
$$ \tag{13} \mathrm{d}U~=~\lambda(u) \left[\left(\frac{A}{r^2}-sr\right)\mathrm{d}r -\frac{r^2}{2}\mathrm{d}s\right], $$
donde
$$ \tag{14} \lambda(u)~:=~\exp\left(\frac{2}{3}A^{\prime} u^3 \right) , \qquad u~\equiv~\frac{1}{r}. $$
El potencial se convierte en
$$ \tag{15} U~=~ -A_p \int_0^u \! du^{\prime} ~ \lambda(u^{\prime}) - s\frac{\lambda(u)}{2u^2} . $$
La diferencia entre el potencial ecuatorial y el polar debe ser cero:
$$\tag{16} 0~=~U_e-U_p~=~ A_p \int_{u_e}^{u_p} \! du~\lambda(u) -\frac{\lambda(u_e)}{2u_e^2} , $$
o de forma equivalente,
$$ \frac{1}{2 A_p u_e^2} ~\stackrel{(16)}{=}~ \int_{u_e}^{u_p} \! du~ \exp\left(\frac{2}{3}A^{\prime} (u^3-u_e^3) \right)~$$ $$ \tag{17}\approx~ \int_{u_e}^{u_p} \! du~ e^{2 A^{\prime} (u-u_e) u_e^2} ~=~\frac{e^{2 A^{\prime} (u_p-u_e) u_e^2}-1}{2A^{\prime} u_e^2}.$$
La diferencia de altura se convierte en
$$\tag{18} h~:=~r_e-r_p~\approx~\frac{u_p-u_e}{u_e^2}~\stackrel{(17)}{\approx}~\frac{r_e^4}{2A^{\prime}} \ln \left(1 + \frac{A^{\prime}}{A_p}\right)~\approx~5.3~{\rm km},$$
lo que lleva a un aplanamiento
$$\tag{19} f~=~\frac{h}{r_e}~\approx~ 8 \cdot 10^{-6} ,$$
que está un 10% por debajo del aplanamiento observado. De todos modos, el sencillo modelo anterior demuestra que es importante tener en cuenta la rotación diferencial no rígida del Sol.
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$^1$ Además de cumplir con las condiciones de contorno correctas, el ansatz (9) se elige, ciertamente, para que el factor integrador (14) sea sencillo (en lugar de basarse en observaciones o modelos astrofísicos).
