Intuición sobre los homomorfismos de grupo

Question

Así que estoy estudiando para los finales y me encontré con la idea de los homomorfismos de nuevo. No es una idea nueva para mí en absoluto, ya que los he visto en grupos, anillos, campos ect. Sin embargo, al reevaluarlos me he dado cuenta de repente de que realmente no los entiendo al mismo nivel que pensaba. Mientras que los isomorfismos me parecen muy naturales de pensar, no puedo visualizar lo que ocurre en los homomorfismos. En este momento, sólo tengo una idea aproximada de que la existencia de un homomorfismo entre grupos (o entre grupos y lo que están actuando) significa que ambos se combinan de alguna manera de la misma manera..

¿Le importa a alguien compartir su intuición sobre el concepto? Como siempre, se agradece cualquier ayuda, gracias

Answer 1

Una forma de pensar en los homomorfismos de grupo son los mapas que preservan la estructura del grupo. Esta idea aparentemente abstracta es bastante sencilla de comprender.

Si un grupo $G_1$ se define con la operación de producto $*$ entonces un homomorfismo es un mapa que toma cualquier producto de elementos en $G_1$ a otro grupo $G_2$ tal que este producto se lleva a otro producto en $G_2$ con su correspondiente operación $\#$ . Esencialmente, los productos se llevan a los productos, los inversos a los inversos y los elementos de identidad a los elementos de identidad. Esto es lo que se entiende por preservación de la estructura.

Sin embargo, un homomorfismo no necesita ser biyectivo como un isomorfismo. Por ejemplo, el mapa exponencial del conjunto de los números reales con el $+$ al conjunto de números reales distintos de cero con la operación de multiplicación es un homomorfismo pero no un isomorfismo ya que no es biyectivo sino que preserva la estructura de grupo.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Esta respuesta será dolorosamente similar a la que aquí pero en cualquier caso los detalles pueden ser de ayuda.

Digamos que tenemos grupos $ (G, *) $ y $ (G', \cdot) $ y un mapa $ \phi : G \rightarrow G' $ . Podemos hacernos la siguiente pregunta: ¿Bajo qué tipos de $ \phi $ ¿tenemos que $ (\phi(G) , \cdot ) $ es un grupo, y que " las relaciones en $ G $ dan las correspondientes relaciones de imágenes en $\phi(G)$ ", es decir, que $ ( x*y = z \text{ in group } G ) \implies ( \phi(x) \cdot \phi(y) = \phi(z) \text{ in group } \phi(G) ) $ ?

Procediendo como en la respuesta enlazada anteriormente, vemos mapas que satisfacen $ \phi(x*y) = \phi(x)\cdot\phi(y) $ son precisamente los que estábamos buscando. Estos mapas se denominan convencionalmente "homomorfismos de grupo".