Intuición sobre los homomorfismos de grupo

Question

Así que estoy estudiando para los finales y me encontré con la idea de los homomorfismos de nuevo. No es una idea nueva para mí en absoluto, ya que los he visto en grupos, anillos, campos ect. Sin embargo, al reevaluarlos me he dado cuenta de repente de que realmente no los entiendo al mismo nivel que pensaba. Mientras que los isomorfismos me parecen muy naturales de pensar, no puedo visualizar lo que ocurre en los homomorfismos. En este momento, sólo tengo una idea aproximada de que la existencia de un homomorfismo entre grupos (o entre grupos y lo que están actuando) significa que ambos se combinan de alguna manera de la misma manera..

¿Le importa a alguien compartir su intuición sobre el concepto? Como siempre, se agradece cualquier ayuda, gracias

Answer 1

Sabes que si hay un isomorfismo $h:A\to B$ de una estructura algebraica (monoide, grupo, anillo, etc.) $A$ en otra estructura algebraica $B$ del mismo tipo, entonces $B$ es esencialmente sólo $A$ disfrazado": las dos estructuras son esencialmente la misma estructura. En otras palabras, los isomorfismos son los mapas que preservan exactamente la estructura.

Los homomorfismos preservan algunos de la estructura. (Aquí algunos puede ser tous ya que todo isomorfismo es un homomorfismo. Es decir, es algunos en el sentido de $\subseteq$ no $\subsetneqq$ ) Conservan las operaciones, pero pueden permitir que los elementos que "se parecen lo suficiente" se reduzcan a un solo elemento. Por ejemplo, el homomorfismo de grupo habitual de $\Bbb Z$ à $\Bbb Z/2\Bbb Z$ (para lo cual se utiliza la notación $\Bbb Z_2$ ) "dice" que todos los enteros pares son esencialmente iguales y los colapsa todos al $0$ de $\Bbb Z/2\Bbb Z$ . Del mismo modo, "dice" que todos los enteros Impares son esencialmente iguales y los colapsa todos al $1$ de $\Bbb Z/2\Bbb Z$ . Borra cualquier detalle más fino que impar frente a incluso . Cuando se aprende en la escuela primaria que incluso $+$ incluso $=$ incluso , impar $+$ incluso $=$ impar y así sucesivamente, estás haciendo esencialmente lo mismo).

El núcleo del homomorfismo es una medida de la cantidad de detalles que se eliminan: cuanto más grande es el núcleo, más detalles se pierden. En el ejemplo del último párrafo, el núcleo es todo el conjunto de números enteros pares: el hecho de que todos los números enteros pares estén en el núcleo dice que todos son vistos de alguna manera como "lo mismo", y aún más específicamente, "lo mismo" que $0$ . Un isomorfismo tiene un núcleo trivial: lo único que se ve como $0$ es $0$ mismo, y no se pierde ningún detalle.

Otra forma de decirlo es que una imagen homomórfica de una estructura algebraica es una especie de aproximación a esa estructura. Si el homomorfismo es un isomorfismo, es una aproximación perfecta; en caso contrario, es una aproximación más o menos burda. A medida que el núcleo del homomorfismo se hace más grande, la crudeza de la aproximación aumenta. En el caso de los grupos, si el núcleo es todo el grupo, entonces la imagen homomórfica es el grupo trivial, y tous se pierden los detalles: lo único que queda es el hecho de que empezamos con un grupo.

Answer 2

Como se ha dicho, los homomorfismos de grupo son mapas entre grupos que respetan la estructura.

Esto es fácil de imaginar en el contexto de isomorfismos entre grupos. El tamaño de los dos grupos es el mismo (aunque sean infinitos), y su estructura se comporta igual (aunque los conjuntos subyacentes y las operaciones binarias sean diferentes). Así que encontrar un isomorfismo es básicamente como traducir un pasaje entre dos idiomas.

Pero no es tan fácil de imaginar cuando los mapas no son biyectivos.

A veces se trata de incrustar un grupo en otro más grande, es decir, de construir un homomorfismo inyectivo que no es sobreyectiva. Sin embargo, no es tan difícil de imaginar, sólo se ve así.

Como ves, esto es sólo un isomorfismo a un subgrupo del grupo objetivo. Los homomorfismos inyectivos no necesitan ser únicos en este caso, por ejemplo muchos grupos tienen muchos subgrupos isomorfos a $C_2$ para que puedas incrustar $C_2$ en un montón de lugares diferentes a través de diferentes homomorfismos inyectivos.

Homomorfismos sobreyectivos (que no son inyectivas) son una historia un poco diferente. Esto es lo que parece. Puede que recuerdes el primer teorema del isomorfismo, según el cual si $\varphi:G\rightarrow H$ es un homomorfismo, entonces existe otro homomorfismo $\theta:G\rightarrow G/\mbox{Ker}\varphi$ y un isomorfismo $\mu:G/\mbox{Ker}\varphi\rightarrow \varphi[G]$ para que $\varphi=\mu\theta$ . (En el caso de la foto de arriba, $\varphi$ es suryente, por lo que $\varphi[G]=H$ .) Este es un teorema que parece complicado, pero en realidad está muy bien ilustrado arriba. Intuitivamente, significa que se puede dividir el grupo en aquellos bloques de color que se comportan colectivamente de la misma manera en $G$ como sus imágenes en $H$ . Recuerde que todos los homomorfismos pueden ser vistos de esta manera y que de hecho una formulación equivalente de un homomorfismo es que $\varphi:G\rightarrow H$ es un homomorfismo si y sólo si $\mbox{Ker}\varphi$ es un subgrupo normal de $G$ . Incluso los homomorfismos inyectivos pueden pensarse así, pero por definición el núcleo de un homomorfismo inyectivo es trivial, por lo que los bloques son sólo un elemento. Es importante entender esta "contratación" de bloques de elementos para entender los homomorfismos.

Ahora bien, hay homomorfismos que no son ni inyectivos ni sobreyectivos, pero pueden representarse fácilmente combinando los dos diagramas anteriores. Los bloques coloreados de la izquierda corresponderán a preimágenes de los bloques coloreados de la derecha, como en el segundo diagrama, pero, al igual que en el primer diagrama, no cubrirán todo el grupo objetivo (es decir, sigue habiendo algunos bloques grises a los que nunca se asigna).

Por lo tanto, después de haber cubierto los homomorfismos de grupo en detalle, es importante darse cuenta de que los homomorfismos en otras estructuras algebraicas se comportan exactamente de la misma manera. Los homomorfismos de módulos, anillos y campos obedecen todos a los mismos teoremas de isomorfismo. Aunque es un poco más difícil de visualizar con más de una operación (y, por tanto, con más de una tabla de multiplicación), todos se comportan así y obedecen el mismo principio de "contracción".

Answer 3

Homomorfismo significa simplemente un mapa que respeta la estructura. Ya sea un grupo, un anillo o un conjunto parcialmente ordenado.

Homomorfismo significa que tenemos una función entre dos estructuras del mismo tipo y el mapa respeta la estructura. Cuántos homomorfismos (y si hay o no suryectivos, inyectivos o biyectivos) nos dice cuán comparables son las estructuras.

Si el único homomorfismo entre dos estructuras es trivial, nos dice que las estructuras son muy diferentes.

Answer 4

Los homomorfismos son realmente similares a los isomorfismos, excepto que no tienen que ser inyectivos o suryectos. Si no son inyectivos, se pueden identificar elementos diferentes. Si no son inyectivos, la imagen es un subconjunto propio del codominio. En realidad, esto es todo lo que hay que hacer. El primer teorema fundamental de los homomorfismos lo dice todo: que el cociente de un grupo por el núcleo es isomorfo a la imagen.

Answer 5

Me estoy enseñando algo de teoría de categorías, y me ha resultado muy útil para aclarar conceptos como los homomorfismos de grupo. Para hacernos una idea, veamos primero Estructuras Así que es sólo una colección de Cosas con un poco de Estructuras .

Por ejemplo, puedes ver una estructura llamada Gráfico donde están las cosas puntos y las estructuras son como puntos conectados por flechas que pueden considerarse como mapas entre puntos, \begin{equation} A\xrightarrow{f_{ab}}B \end{equation} dice que hay una flecha $f_{ab}$ entre los puntos $A$ y $B$ .

Cada gráfico es sólo una colección de tales mapas .

Dados dos gráficos \begin{equation} G_1=\{A_1\xrightarrow{f^{1}_{ab}} B_1\} \end{equation} y \begin{equation} G_2=\{A_2\xrightarrow{f^{2}_{ab}} B_2\}, \end{equation} queremos construir alguna transformación $\Phi$ de $G_1$ à $G_2$ que respetar la estructura del gráfico, y para definir tal $\Phi$ debemos especificar dónde van los puntos y dónde van las flechas.

Supongo que está claro que lo natural es que si $A_1,B_1$ están conectados por $f_{ab}^1$ en $G_1$ entonces $\Phi(A_1),\Phi(B_1)$ mejor conectarse por $\Phi(f_{ab}^1)$ en $G_2$ . O en el lenguaje de la categoría, el siguiente diagrama conmuta:

Sólo dice que si hay una flecha en el primer gráfico entonces la imagen de esta flecha es una flecha en el segundo gráfico, y esto es lo que queremos decir con respetar la estructura .

A continuación, examinamos Grupos como estructuras. La estructura viene dada por la operación binaria, la multiplicación \begin{equation} G\times G\xrightarrow{m} G \end{equation} por lo que los mapas $\Phi$ respetar esta estructura hacen que el siguiente diagrama sea conmutable

Pero esto significa precisamente \begin{equation} \Phi(g)\cdot\Phi(h)=g\cdot h, \end{equation} que es la definición para los homomorfismos de grupo.

Así que no hay nada extraño en esta definición, sólo se asegura de que los puntos (elementos) se asignen a puntos (elementos) mientras que las flechas (multiplicación) se asignen a flechas (multiplicación). Y para obtener un isomorfismo, sólo se requiere esto $\Phi$ es biyectiva.