¿Cómo llegaron los autores a $$\frac{3}{2}\left(\frac{S_{i j}}{\sigma_{\mathrm{e}}}\right)$$ en la segunda ecuación de abajo? La regla de la cadena es obvia pero, no puedo obtener el primer término.
Con la consideración del límite elástico inicial, $k$ e ignorando el endurecimiento por trabajo y otras variables de estado, el potencial de disipación de energía puede ser de la forma $$ \psi=\frac{K}{n+1}\left(\frac{\sigma_{\mathrm{e}}-k}{K}\right)^{n+1}\tag{1} $$ Donde $\sigma_{\mathrm{e}}=\left(3 S_{i j} \cdot S_{i j} / 2\right)^{1 / 2}$ es la tensión efectiva, $S_{i j}=$ $\sigma_{i j}-\delta_{i j} \sigma_{k k} / 3$ es la componente del tensor de desviación de tensiones (en este trabajo se utiliza la convención de suma de Einstein de sumar en índices repetidos), $\sigma_{i j}$ es la componente del tensor de tensión y $\delta_{i j}$ es el delta de Kronecker. $K$ y $n$ son constantes del material. Suponiendo la normalidad y la regla de flujo asociada, la relación multiaxial viene dada por $$ \frac{\mathrm{d} \varepsilon_{i j}^{\mathrm{p}}}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial \psi}{\partial S_{i j}}=\frac{3}{2}\left(\frac{S_{i j}}{\sigma_{\mathrm{e}}}\right)\left(\frac{\sigma_{\mathrm{e}}-k}{K}\right)^{n}\tag{2} $$ Donde $\varepsilon_{i j}^{\mathrm{p}}$ es la componente del tensor de deformación plástica.
The paper referred here:
Chen, Y., Zhuang, W., Wang, S., Lin, J., Balint, D., & Shan, D. (2012). Investigation of FE model size definition for surface coating application. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 25(5), 860-867.
