Estoy leyendo un libro de texto que básicamente tiene la secuencia \begin{align*} a_ n = c_n b_n + \sum_{k=1}^{n-1} w_k b_k \end{align*} y procede a mostrar la inversión de $a_n$ con respecto a $b_n$ es \begin{align*} b_n = \frac{1}{c_n} a_n + \sum_{k=1}^{n-1} \tilde{w}_k a_k \end{align*} donde $\tilde{w}_n$ son coeficientes a determinar que están en función de $w_1, \cdots, w_n, c_n$ . El libro de texto procede a encontrar los coeficientes por medio de comparaciones y sustituciones. Me pregunto si existe algún tipo de teorema de inversión que determine automáticamente estos coeficientes.
Respuesta
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Con el general $a_{n}, b_{n}$ y $c_{n}$ , donde $c_{n} \neq 0$ entonces lo mejor que se puede mostrar es \begin{align} b_{0} &= \frac{a_{0}}{c_{0}} \\ b_{1} &= \frac{a_{1}}{c_{1}} \\ b_{2} &= \frac{a_{2}}{c_{2}} - \frac{w_{1}}{c_{1} \, c_{2}} \, a_{1} \\ b_{3} &= \frac{a_{3}}{c_{3}} - \frac{w_{2}}{c_{2} \, c_{3}} \, a_{2} + \left( \frac{w_{1} w_{2}}{c_{1} c_{2} c_{3}} - \frac{w_{1}}{c_{1} c_{3}} \right) \, a_{1}. \end{align} Esto toma la forma $$b_{n} = \frac{a_{n}}{c_{n}} + \sum_{k=1}^{n-1} \phi_{k}^{n} \, a_{k}.$$
Con alguna relación entre $a_{n}$ , $b_{n}$ y/o $c_{n}$ entonces puede ser posible utilizar una función generadora, un operador de diferencia, etc., para invertir la serie. Lo más frecuente es que se acabe desarrollando un patrón a partir del primer término.
