Una pregunta sobre el límite

Question

¿Alguien puede ayudar a esta pregunta?

Encuentra el límite de $$1+\sqrt{2+\sqrt[3]{3+\sqrt[4]{4+\sqrt[5]{5+....+\sqrt[n]{n}}}}}$$

Sólo puedo resolver que esta fórmula es menor que 3 pero no puedo encontrar la respuesta exacta para esto.

Answer 1

Se puede demostrar que $1.9<a_0<2$ : Utilizamos las siguientes desigualdades:

$\sqrt[k]{k+1}>1; \sqrt[k]{k}<\sqrt[k]{k+2}<2$

Seris de $a_n$ es creciente y de la primera desigualdad tenemos

$a_n=\sqrt{2+\sqrt[3]{3+\sqrt[4]4+ \cdot\cdot\cdot+\sqrt[n]n}}<\sqrt{2+\sqrt[3]{3+\sqrt[4]4+ \cdot\cdot\cdot+\sqrt[n-1]{n-1+2}}}<\cdot\cdot\cdot<\sqrt{2+\sqrt[3]5}$

Por lo tanto, la serie tiene un límite como $a_n $ tal que :

$a_0\leq\sqrt{2+\sqrt[3]5}<2$

Ahora usando la primera desigualdad encontramos:

$a_n>\sqrt{2+\sqrt[3]{3+\cdot\cdot\cdot+\sqrt[n-1]n}}>\cdot\cdot\cdot>\sqrt{2+\sqrt[3]{3+\sqrt[4]5}}$

Por lo tanto:

$a_0>\sqrt{2+\sqrt[3]3+\sqrt[4]5}$

Se puede ver fácilmente rhat:

$\sqrt{2+\sqrt[3]{3+\sqrt[4]5}}>1,9$

Por lo tanto:

$1.9<a_0<2$