Productos y proyecciones escalares

Question

Propuesta: Sea w $\in V$ de modo que V es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y $||w|| \neq 0$ . Para cada v en V existe un único $c\in \mathbb{R}$ para que $v-cw$ es perpendicular a w.

Mi prueba:

Existencia: Supongamos que $w \in V$ y $||w|| \neq 0$ . Sea $v \in V$ sea arbitraria. Fijando c $\in \mathbb{R}$ para ser $\frac{<v,w>}{<w,w>}$ tenemos $<v-cw,w>=<v-\frac{<v,w>w}{<w,w>},w>$ $=$ $<v,w>$ $-\frac{<v,w>}{<w,w>}$ $<w,w>$ $=$ $<v,w>(1-1)=0$

Unicidad: Supongamos que $<v-cw,w>=0$ $=$ $<v,w>-<cw,w>$ $=$ $<v,w>-c<w,w>=0$ $\implies$ $c=\frac{<v,w>}{<w,w>}$ .

¿Es correcta la prueba? ¿Cómo puedo mejorarla? En particular, me preocupa la parte de la unicidad.

Answer 1

No está particularmente bien escrito, pero es correcto. En la prueba de existencia, después del tercer $=$ signo que pondría $\langle v,w\rangle-\langle v,w\rangle=0$ me parece más natural.

En la parte de la singularidad, yo empezaría con "Supongamos que $\langle v-cw,w\rangle=0$ . Entonces "