Sistemas de primer y números compuestos

Question

Sabemos que todos los números primos son de la forma$ 6k ± 1 $, con la excepción de 2 y 3.

También sabemos que no todos los números de la forma $ 6k ± 1 $ son primos.

Esto lleva a cuatro conjuntos distintos de los pares adyacentes a un múltiplo de seis:

1. Doble de los números Primos, por Ejemplo: $ 5, 7 $ (primer seguido por un prime)
2. Doble Compuestos, por Ejemplo: $ 119, 121 $ (compuesto seguido de un compuesto).
3. El primer Compuesto, por Ejemplo: $ 23, 25 $ (primer seguido de un compuesto).
4. Compuesto-Prime, por Ejemplo: $ 35, 37 $ (compuesto seguido por un prime)

El Gemelo Primer Conjetura afirma que hay infinitamente muchos de los números Primos Gemelos, pero aún no ha sido probada.

Podría ser demostrado que cualquiera de estos cuatro conjuntos son infinitos?

Answer 1

El compuesto compuesto caso es fácil. Por el teorema del resto Chino hay infinitamente muchas soluciones de, por ejemplo, $$x\equiv0\pmod6\ ,\quad x\equiv1\pmod5\ ,\quad x\equiv-1\pmod7\ .$$ Y para cualquier $x$ mayor que $6$ tenemos $x-1,x+1$ son adyacentes a un múltiplo de $6$, e $x-1$ es un múltiplo de a $5$ y, por tanto, compuesto de, e $x+1$ es un múltiplo de a $7$ y por lo tanto el compuesto.

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El compuesto-el primer caso de la siguiente manera a partir del teorema de Dirichlet (que no es fácil de probar). Considerar el número $x=30k+6$. A continuación, los números de $x-1,x+1$ son adyacentes a un múltiplo de $6$; y los números de $x+1$ son de primer infinitamente a menudo; y los números de $x-1$ están siempre compuestas.

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Del mismo modo, $x=30k-6$ cubre el primer caso de compuesto.

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Y como usted ha mencionado, el primer primer caso sigue sin resolverse.

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Alternativa de la prueba para el caso de compuesto: considerar los números $$x=6\times119\times121k+120\ .$$ A continuación, $x-1$ es siempre un múltiplo de $119$, e $x+1$ es siempre un múltiplo de $121$.

O para mantener los números un poco más pequeño, $x=6\times7\times11k+120$.

Answer 2

Es muy simple de construir una secuencia infinita para el Primer Compuesto caso:

$$23+60n,25+60n$$

$25+60n$ va a generar una cantidad infinita de compuesto de números, todos los que son divisibles por $5$ (de hecho, va a generar sólo compuesto de números).

$23+60n$ va a generar una cantidad infinita de números primos, ya que $23$ $60$ son coprime enteros (de acuerdo a la del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas).

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Es muy simple de construir una secuencia infinita para el Compuesto-Primer caso:

$$35+60n,37+60n$$

$35+60n$ va a generar una cantidad infinita de compuesto de números, todos los que son divisibles por $5$ (de hecho, va a generar sólo compuesto de números).

$37+60n$ va a generar una cantidad infinita de números primos, ya que $37$ $60$ son coprime enteros (de acuerdo a la del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas).

Answer 3

Caso $2$ es contestado así que lo voy a tratar los otros. Caso $3$, por el teorema de Dirichlet hay un número infinito de números primos de la forma $10 \cdot n + 3$, y siempre es divisible por $10 \cdot n + 5$ $5$. Hay un ejemplo similar para el caso $4$.