¿Por qué los ciclos completados por la onda estacionaria completada por el electrón en una determinada órbita es igual al número cuántico de principio?

Question

Según el modelo de Bohr y la hipótesis de De-Broglie, ¿por qué los ciclos completados por la onda estacionaria completada por el electrón en una determinada órbita es igual al número cuántico de principio? Cuando derivamos el momento angular utilizamos $2\pi r =n\lambda$ donde n es obviamente los ciclos completados por la onda estándar del electrón . Mientras que nosotros $\lambda = h/mv$ entonces concluimos que tanto $\lambda $ debe ser el mismo para obtener $L=\frac{nh}{2\pi}$ ahora llamamos a n como el número cuántico principal. ¿Por qué los dos ciclos de onda de los electrones son idénticos al número cuántico principal?

Answer 1

La razón es que el modelo de Bohr se construyó así. La cuantización de la energía en un átomo, que es lo que da la noción de "número cuántico principal", fue una observación empírica - después de todo, la teoría cuántica tuvo que ser desarrollada para explicar algo como cualquier teoría científica. Y la hipótesis era que un patrón de onda estacionaria tenía que formarse alrededor de una órbita circular, como una cuerda de guitarra pulsada, debido principalmente a dos cosas:

1. el fenómeno de la onda estacionaria era conocido desde hace mucho tiempo (desde Melde en 1860 con el famoso experimento del "cordón de Melde" que ahora se utiliza a menudo en los laboratorios de demostración de introducción a la física, aunque quizás no se haya descubierto su nombre) en el que se conocía un fenómeno similar de "cuantización", es decir, la restricción de una cantidad física a tomar sólo valores de un conjunto discreto en oposición a un rango continuo,

2. otros experimentos con electrones revelaron que su propagación se asemeja en algunos aspectos a la de una onda, por ejemplo, que pueden sufrir difracción.

Naturalmente, dadas estas dos cosas, es muy fácil hipotetizar que, entonces, si el electrón en el átomo es de alguna manera, o es tal que su comportamiento puede ser descrito con ondas, la cuantificación observada de las energías puede ser debida a un efecto de onda estacionaria similar al del experimento de la cuerda. Y así, por diseño del modelo, uno naturalmente hipotetizaría que el estado de menor energía corresponde al patrón de onda estacionaria más bajo, es decir, el modo fundamental, y luego el siguiente más alto al primer sobretono, y así sucesivamente.

Y de hecho, la moderna teoría cuántica del átomo hace efectivamente eso, sin embargo, las ondas relevantes no son ondas físicas en el fluido, sino (aunque la interpretación sigue siendo debatida) más bien un tipo de onda más sutil que aparece dentro de una distribución de probabilidad que refleja el hecho de que la posición del electrón no está determinada con información infinita, y además, sus patrones de ondas estacionarias se establecen en un espacio tridimensional completo, no en la oscilación unidimensional de "cuerda envuelta" prevista en el antiguo modelo. Y debido a estos puntos, este modelo puede dar cuenta de algunas cosas que el modelo de Bohr no podía: por ejemplo, debido al segundo punto, el modelo de Bohr es incapaz de dar cuenta correctamente del momento angular, mientras que el modelo moderno permite una gama de posibles "sugerencias" de momentos angulares en cada paso de energía, en la medida de los límites informativos impuestos por las leyes cuánticas sobre ellos tanto como sobre la posición.

Answer 2

La solución completa de la ecuación de Schrodinger para el potencial del átomo de hidrógeno implica tres números cuánticos generalmente etiquetados $n, \ell,$ y $m$ . $n$ como en su notación, es el "número cuántico principal" aquí. La solución completa también te dice que el momento angular exacto es $L=\sqrt{\ell(\ell+1)}h/2\pi$ . La solución sólo le dice que $\ell<n$ Así que su ecuación, resultado del modelo de Bohr, no es siempre cierta. Sin embargo, para $\ell=n-1\gg0$ tenemos $\ell\approx n$ y $\sqrt{\ell(\ell+1)}\approx\ell$ . Así que ya ves, este resultado del modelo de Bohr es bueno para grandes y máximas $\ell$ . De hecho, estos átomos en estos estados tienen un nombre especial, se llaman "átomos de Rydberg de estado circular", ya que si se mira la función de onda la función de onda parece un gran donut.

Todo esto está muy bien, pero tal vez usted está buscando algo más intuitivo, es decir, ¿por qué son $\ell$ y $n$ relacionados de esta manera? Bueno, $n$ es la principal contribución a la energía del átomo, y por lo tanto mayor $n$ Las funciones de onda tienen al electrón más alejado del núcleo (el mínimo del potencial). Si se quiere aumentar $\ell$ y el momento angular, más allá de un cierto punto no se puede hacer sin provocar que la fuerza centrífuga empuje al átomo más lejos del núcleo, y por lo tanto no se puede aumentar $\ell$ más allá de un determinado punto sin aumentar $n$ . Del mismo modo, en el modelo de Bohr, para obtener un ciclo extra de la función de onda en el círculo, hay que aumentar el diámetro del círculo, que está directamente relacionado con el número cuántico de principio.

Esperemos que esto te dé una mayor intuición de por qué el número cuántico principal aparece de esta manera. En mi opinión, el modelo de Bohr se enfatiza demasiado en la física de grado. Yo nunca lo he utilizado, salvo como heurístico para recordar algunas relaciones de escala, y sólo empieza a tener sentido cuando se llega a la mecánica cuántica real.