¿Significa "finitamente presentado" que "siempre está finitamente presentado"? (Respuesta: Sí)

Question

Precisamente, si un módulo R M tiene una presentación finita, y R k → M es algún tipo de sujeción (k finito), ¿es el núcleo necesariamente también finitamente generado?

Básicamente, quiero creer que puedo elegir los generadores para M como me plazca, y seguir obteniendo una presentación finita. Tengo razones de la geometría algebraica para creer esto, pero parece un resultado muy básico, así que me gustaría entenderlo directamente en términos del álgebra conmutativa, que parece que no puedo entender...

(Aquí R es un anillo conmutativo arbitrario, sin más hipótesis).

Modifier : Todos los mapas aquí son mapas de módulos R. Además, la razón por la que esto no es lo mismo que "¿la presentación finita implica coherencia?" es que sólo estoy preguntando por núcleos de tipo finito de proyecciones R k → M. Que las hipótesis asuman la subjetividad es un error común de interpretación de la definición general de "coherente".

Si la respuesta a lo anterior es "sí", entonces coherente significará "tipo finito, y todos los submódulos de tipo finito son presentación finita"

Answer 1

$\require{begingroup} \begingroup$ $\def\coker{\operatorname{Coker}}$ $\def\im{\operatorname{Im}}$

Supongamos que tenemos una secuencia exacta corta $0 \to K \to R^m \to M \to 0$ con $K$ generado finitamente sobre $R$ y que $0 \to K' \to R^n \to M \to 0$ es otra secuencia exacta corta. Su pregunta es: ¿es $K'$ ¿se genera necesariamente de forma finita?

La respuesta es sí y podemos verlo de la siguiente manera:

En primer lugar, argumentamos la existencia de un diagrama conmutativo

$$ \require{AMScd} \begin{CD} 0 @>>> K @>>> R^m @>>> M @>>> 0 \\ @. @VV{\tilde{f}}V @VV{f}V @| \\ 0 @>>> K' @>>> R^n @>>> M @>>> 0 \\ \end{CD} $$

Utilizando el hecho de que los módulos libres son proyectivos podemos levantar el mapa de identidad $M = M$ a un $f\colon R^m\to R^n$ lo que hace que el cuadrado de la derecha conmute. Restringiendo $f$ a un mapa $\tilde{f}\colon K → K'$ rellena el último cuadrado y así tenemos el diagrama tal y como se afirma.

Ahora usando el lema de Snake encontramos que hay un isomorfismo $\coker{\tilde{f}} \cong \coker{f}$ . Por lo tanto, tenemos una secuencia exacta corta; $$ 0\to \im{\tilde{f}}\to K'\to \coker{f}\to 0. $$ Desde $K'$ se encuentra entre dos generados finitamente $R$ se deduce (por una hecho conocido ) que $K'$ es a su vez finitamente generada.

$\endgroup$

Answer 2

Hay una cita famosa, creo que debida a Szego, que dice que una técnica que se puede usar una vez es un truco, pero si se puede usar dos veces entonces es un método. Con ese espíritu, aquí está el método EGA que es muy muy útil para acabar con todos esos problemas reduciendo al caso noetheriano. Se puede extrapolar fácilmente a partir de este ejemplo cómo se podrían demostrar resultados relacionados (como para los casos de presentación finita álgebras en cuyo caso los argumentos teóricos del módulo en las otras respuestas pueden no aplicarse tan fácilmente).

Principio general: Si todo lo que se utiliza puede ser "descrito" con sólo un número finito de elementos del anillo base, todos los objetos descienden a un subringa noetheriana (como $\mathbf{Z}$ -subálgebra generada por los elementos finitos utilizados en la "descripción") y si la aumentamos un poco los morfismos también descienden (hay que matar algunas relaciones), y si la aumentamos un poco más también podemos descender todas las propiedades "razonables" (planitud, suavidad, radicismo, surjetividad, etc.). Este último paso es, con mucho, el más sutil (para cosas como la planitud). Al final, siempre se reduce al hecho de que si algo desaparece en un límite directo entonces desaparece en algún lugar siempre el camino, y si un límite directo de los anillos es 0 entonces los anillos finalmente desaparecen (pista si $1 = 0$ ).

Ejemplo de trabajo para la presentación finita de módulos:

Paso 0: Elegir alguna secuencia exacta correcta $F' \stackrel{f}{\rightarrow} F \rightarrow M \rightarrow 0$ con $F$ y $F'$ libre finito sobre $R$ , y otra sobreyección $\pi:P \twoheadrightarrow M$ de otro módulo libre finito a $M$ . Deseamos demostrar $\ker \pi$ está generada finitamente.

Paso 1: Observar que el mapa $f$ implica sólo un número finito de elementos de $R$ (piense en una matriz), y del mismo modo cada vector base en $P$ va a un elemento de $M$ que se eleva a algo en $F$ por lo que, de nuevo, sólo implica un número finito de elementos de $R$ (para describir estos ascensores en $F$ ). Sea $R_0 \subset R$ sea el $\mathbf{Z}$ -generada por los elementos de $R$ que acabamos de mencionar.

Paso 2: Considerar el $R_0$ -mapa lineal $$f _0 : F' _0 \rightarrow F _0$$

entre los libres finitos $R_0$ -dados por "la misma matriz" que para $f$ Así que $R \otimes_{R_0} f_0 = f$ . Sea $M_0 = {\rm{coker}}(f_0)$ así que por la exactitud (!) del producto tensorial, $M_0$ es un $R_0$ -descenso de $M$ . Ahora $f$ ha hecho su trabajo y nos olvidamos de él.

Paso 3: También podemos definir un mapa $\pi_0: P_0 \rightarrow M_0$ de un libre finito $R_0$ -para que la extensión escalar a $R$ es $\pi$ . Si $\pi_0$ fueran suryentes, entonces la exactitud del producto tensorial implicaría que ${\rm{ker}}(\pi)$ es un cociente de $R \otimes_{R_0} {\rm{ker}}(\pi_0)$ siendo esta última generada finitamente ya que $R_0$ es noetheriano . Es $\pi_0$ ¿Subjetivo? Tal vez no. Pero no es un gran problema: si se convierte en suryectiva después de la extensión escalar a un subring de noetero mayor de $R$ entonces podemos renombrarlo como $R_0$ y proceder como en el caso anterior.

La cuestión es si ${\rm{coker}}(\pi_0)$ desaparece. Por la exactitud (¡!) del producto tensorial, la formación de este núcleo cónico conmuta con la extensión escalar a anillos intermedios entre $R_0$ y $R$ . Scalar hasta la extensión de $R$ lo hace desaparecer (ya que $\pi$ es suryente), por lo que al expresar $R$ como un límite directo de los generados finitamente $R_0$ -subalgebras $R_i$ concluimos que cada uno de los finitamente muchos generadores de ${\rm{coker}}(\pi_0)$ tienen imagen de fuga después de la extensión escalar a algún común tal $R_i$ . Cambia el nombre como $R_0$ .

QED

Ver EGA IV $_1$ 1.4.4 para la variante para álgebras finitamente presentadas. Bueno, es mejor que primero lo resuelvas por ti mismo. Y luego demostrar que un álgebra de módulo finito sobre un anillo está finitamente presentada como módulo si y sólo si está finitamente presentada como álgebra. (Esto no es una tautología.) Esto puede ser un poco más complicado de resolver, pero es un buen ejercicio. Solución en EGA IV $_1$ , 1.4.7.

Answer 3

Esto es más o menos lo mismo que la respuesta de Andy, pero lo diré de otra manera. Supongamos que 0-->A-->R p -->M-->0 y 0-->B-->R q -->M-->0 son dos secuencias exactas. Entonces podemos formar una secuencia exacta

0-->K-->R p +R q -->M-->0

donde lo del medio es una suma directa, y el mapa a M es la suma de las dos suryecciones. Entonces puedes demostrar que hay isomorfismos K <--> A+R q y K <--> B+R p ; estos se producen utilizando ascensores R p --> R q y R q --> R p de los mapas a M. Entonces A está finitamente generado si y sólo si B lo está.

Answer 4

Ya que no se ha mencionado aquí (en esta pregunta - ciertamente aparece en algún lugar de MathOF), permítanme mencionar que tal fenómeno se da en un escenario considerablemente mayor.

Un objeto $K$ de una categoría $\mathcal{K}$ se dice que es finitamente presentable si su homofunctor $\mathrm{Hom}_{\mathcal{K}}(K,-):\mathcal{K}\to\mathbf{Set}$ preserva los colímetros dirigidos.

En una variedad de álgebras finitas (en el sentido del álgebra universal), por lo que pueden ser "grupos", "monoides", " $R$ -módulos", etc., un álgebra $A$ es finitamente presentable si puede ser presentado por un número finito de generadores y relaciones; además, la definición implica que para tal finito presentable $A$ ,

para todo mapa cociente $p:B\to A$ con $B$ generado finitamente, el conjunto de relaciones $\{(x,y)\in B^2:p(x)=p(y)\}$ es una relación de equivalencia compatible finitamente generada en $B$ .

(compatible significa que las leyes pasan al cociente; en grupos o módulos, esto dice que el núcleo está finitamente generado como subgrupo normal, resp., como submódulo; en monoides, esto no se puede describir en términos de núcleo).

Todo esto se puede encontrar en el libro de Adamek-Rosicky, sección 1.A.

Answer 5

He aquí una nueva generalización de la generalización de Respuesta de YCor .

Reclamación: Dejemos que $\mathcal K$ sea un localmente $\kappa$ -categoría presentable que contiene un diagrama coequiper $A \rightrightarrows B \twoheadrightarrow C$ donde $B,C$ son $\kappa$ -presentable. Entonces existe un diagrama coigualador $A' \rightrightarrows B \twoheadrightarrow C$ con $A'$ $\kappa$ -presentable y un mapa $A' \to A$ haciendo que el diagrama obvio conmute.

Se deduce, por ejemplo, que si $B$ es cualquier módulo finitamente representable y $C$ es cualquier cociente finitamente representable, entonces el núcleo es finitamente generado (no necesitamos asumir que $B$ es libre). El resultado seguirá siendo más útil en las categorías "algebraicas" $\mathcal K$ (el contexto YCor descrito ya discutido) donde hay una buena oferta de diagramas coequalizadores. Sin embargo, es cierto en este contexto más general.

Prueba: Escribe $A = \varinjlim A_i$ como el $\kappa$ -filtrado colímite de $\kappa$ -objetos presentables. Tenemos los diagramas coequiperos resultantes $A_i \rightrightarrows B \twoheadrightarrow C_i$ y $C = \varinjlim_i C_i$ . De hecho, el isomorfismo $C = \varinjlim_i C_i$ ascensos a la categoría coslice $\mathcal K_{B/}$ . Porque $C$ es $\kappa$ -presentable (incluso considerado como objeto de $\mathcal K_{B/}$ ), el mapa de identidad $C = C$ factores a través de alguna etapa del colímite, $C \rightarrowtail C_i \twoheadrightarrow C$ Esto es cierto en la categoría coslice, por lo que $(B \twoheadrightarrow C_i) = (B \twoheadrightarrow C \rightarrowtail C_i)$ . Como este mapa es epi, se deduce que $C \rightarrowtail C_i$ es epi. Pero también es mono dividido, y por tanto iso. Así pues, $C = C_i$ es el coequipamiento de $A_i \rightrightarrows B$ .