Transformación de ecuaciones diferenciales en sistemas autónomos de primer orden

Question

El problema 1.7 de G.Teschl ODE and Dynamical Systems me pide que transforme la siguiente ecuación diferencial en un sistema autónomo de primer orden:

$\ddot x = t\sin(\dot x) +x$

Transformar la EDO en un sistema es en este caso fácil, pero ¿cuál es la técnica habitual para transformarla en un AUTÓNOMO ¿Sistema?

Muchas gracias <3

Answer 1

El tiempo se utiliza como un componente adicional con la derivada $1$ . $$ \frac{d}{dt}\pmatrix{x_0 \\ x_1 \\ x_2}=\pmatrix{1 \\ x_2 \\ x_0\sin(x_2)+x_1} $$

Answer 2

Dado que

$\ddot x = t\sin \dot x + x, \tag 1$

podemos establecer

$y = \dot x, \tag 2$

entonces

$\dot y = \ddot x, \tag 3$

y tenemos

$\dot y = t\sin y + x; \tag 4$

también tenemos que sustituir la variable independiente $t$ con una tercera (además de $x$ y $y$ ) la variable dependiente la llamaremos $z$ que obedece a

$\dot z = 1; \tag 5$

esta ecuación implica que

$z = t + c, \; c \in \Bbb R; \tag 6$

debemos asegurarnos de que $c = 0$ Esto puede hacerse estableciendo un valor inicial para $z$ A saber:

$z(t_0) = t_0; \tag 7$

entonces

$c = 0, \tag 8$

y

$z = t; \tag 9$

por lo que el sistema autónomo buscado puede escribirse

$\dot x = y, \tag{10}$

$\dot y = z\sin y + x, \tag{11}$

$\dot z = 1, \; z(t_0) = t_0; \tag{12}$

nota que también tenemos que especificar $x(t_0)$ y $y(t_0)$ para obtener una solución única.