Resuelve la ecuación $|2x^2+x-1|=|x^2+4x+1|$

Question

Encuentra la suma de todas las soluciones de la ecuación $|2x^2+x-1|=|x^2+4x+1|$

Aunque he intentado resolverlo en desmos.com y obtener la respuesta requerida, pero al resolverlo manualmente se hace muy largo.

He intentado construir las dos parábolas y reflejar la imagen de la región por debajo del eje y, pero sigue siendo complicado.

¿Hay algún método fácil para resolverlo y obtener la suma de todas las soluciones?

Answer 1

Se nos pide la suma de las raíces; no necesariamente tenemos que encontrar las raíces.

Elevando al cuadrado, obtenemos $(2x^2+x-1)^2=(x^2+4x-1)^2$ .

Así que $4x^4+4x^3...=x^4+8x^3...$ .

Así que $\color{blue}3x^4-\color{blue}4x^3....=0$ .

Por Las fórmulas de Vieta la respuesta es $\dfrac43$ .

Answer 2

Pista : Resuelve las dos ecuaciones $$2x^2+x-1=x^2+4x+1$$ y $$2x^2+x-1=-x^2-4x-1$$

Answer 3

Las expresiones entre las barras de valor absoluto tienen el mismo signo o signos opuestos. Por lo tanto, hay dos casos independientes (por adición y por sustracción):

$$3x^2+5x=0$$ y $$x^2-3x-2=0.$$

Luego por Vieta,

$$-\frac53+3.$$

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Para que el rigor sea total, hay que demostrar que ninguna raíz se repite. Esto es cierto, porque los polinomios no tienen ninguna raíz doble, y su $\text{gcd}$ es $1$ .

Answer 4

$$ |2x^2+x-1|=|x^2+4x+1|\\ (2x^2+x-1)^2=(x^2+4x+1)^2\\ (2x^2+x-1)^2-(x^2+4x+1)^2=0\\ [(2x^2+x-1)+(x^2+4x+1)]\cdot[(2x^2+x-1)-(x^2+4x+1)]=0\\ (3x^2+5x)\cdot(x^2-3x-2)=0\\ x\cdot(3x+5)\cdot(x^2-3x-2)=0\\ Solving\space for\space all\space cases,\space we\space get:\\ x=0\\ x=-\frac{5}{3}\\ x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2} $$

Answer 5

Elevando al cuadrado y factorizando obtenemos $$x(3x+5)(x^2-3x-2)=0$$ Las soluciones vienen dadas por $$x=-\frac{5}{3}\lor x=0\lor x=\frac{1}{2} \left(3-\sqrt{17}\right)\lor x=\frac{1}{2} \left(3+\sqrt{17}\right)$$