Elección de grupo de tamaño 3 en una tirada de 5 dados únicos

Question

Suponga que tiene $5$ dados justos (con caras $1-6$ ) de color rojo, verde, amarillo, naranja y azul. ¿De cuántas formas se pueden lanzar de manera que el conjunto resultante de números lanzados sea de tamaño $3$ ? Por ejemplo, el caso en el que rodamos: $1,2,3,1,2$ se acepta pero $1,2,3,4,1$ no lo es.

Mi intento:

Elija el conjunto de tamaño $3$ para trabajar: ${6 \choose 3}$

Elija $3$ dados para insertar esos tres números únicos: $5 \choose 3$

Asigna los números del conjunto a los colores (tenemos que utilizar los tres números): $3!$

En los dos dados restantes tenemos tres opciones: $3^2$

en general: ${6 \choose 3}\cdot{5 \choose 3}\cdot3!\cdot3^2$ .

¿Es esto correcto?

Answer 1

Puedes tener tres de un número y dos singletons o dos de dos números y un singleton. Para la primera, tienes $6$ formas de elegir el número de que habrá tres, $5 \choose 3$ formas de elegir los dados con ese número, $5$ maneras de elegir el número en el primero de los otros dados y $4$ formas de elegir el número en la última, para $$6\cdot {5 \choose 3}\cdot 5 \cdot 4=1200$$ Para dos pares más uno, tienes $5 \choose 2$ formas de elegir el primer par y $6$ formas de elegir su número, $3 \choose 2$ formas de elegir el segundo par y $5$ formas de elegir su número, entonces $4$ maneras de elegir el número para el último, pero hemos contado doble porque podemos intercambiar los dos pares. $$\frac 12{5 \choose 2}6{3 \choose 2}5\cdot 4=1800$$ Para un total de $3000$