Invariante topológica en 1D

Question

En 2D, con el estado $\psi(k_x, k_y)$ es común calcular la medida de la topología del material:

1 - Calcular la conexión Berry $a = -i <\psi | \partial_{\boldsymbol{k}} | \psi>$ .

2 - Calcular la curvatura de Berry $F = \partial_{k_x} a_y -\partial_{k_y} a_x $ .

3 - Definir el invariante topológico (número de Chern) $C = \frac{1}{2 \pi} \int F(k_x, k_y) \mathrm{d}k_x \mathrm{d}k_y$ .

Cómo calcular un invariante topológico análogo para un estado 1D $\psi(k_x)$ ?

Ingenuamente, la receta anterior nunca puede dar un invariante topológico distinto de cero, ya que la curvatura de Berry es vansitiva. Sin embargo, se sabe que existen aislantes topológicos 1D.

Answer 1

Existen invariantes topológicos similares para las estructuras de banda en una dimensión, pero una diferencia importante es que estos invariantes siempre requieren alguna simetría en los hamiltonianos de banda, por ejemplo la simetría partícula-agujero. En estos casos, normalmente el invariante viene dado por

$$ C=\int\frac{dk}{2\pi} a_k \text{ mod }1 $$